线性代数 课件《特征值和特征向量》

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1、第六章矩阵的特征值和特值向量§1矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量是矩阵理论中重要个概念之一,它有着广泛的应用.本章将引进特征值和特征向量的概念及其计算.并给出将矩阵对角化的方法.一.定义和计算定义6.1设A是n阶方阵,如果数0和n维非零列向量满足关系式A=0则称0为A的特征值,为A的属于0的一个特征向量.如果A是奇异矩阵(

2、A

3、=0),则齐次线性方程组Ax=0有非零解,若记为Ax=0的非零解,则有可见,0=0为奇异矩阵A的特征值,方程组Ax=0的非零解都是A的属于特征值0=0的特

4、征向量.A=0=0一般地,由A=0可得(0EA)=0可见,是n元齐次线性方程组(0EA)x=0的非零解.所以有

5、0EA

6、=0.定义6.2设A是n阶方阵,是参数,则行列式称为方阵A的特征多项式.称det(EA)=0为方阵A的特征方程.A的特征值就是特征方程的解,n阶方阵A有n个特征值.A的属于特征值i的特征向量就是齐次线性方程组(EA)x=0的所有非零解.的特征值和特征向量.解A的特征多项式为=(-1)[(-2)2-1]=(-1)2(-3)所以A的特征值为1=2=1

7、,3=3.对1=2=1,解方程(E-A)x=0,由于例1求矩阵所以k1(k≠0)是属于1=2=1的全部特征向量.对3=3,解方程(3E-A)x=0,由于得同解方程:,基础解系为2=(-1,1,1)T.所以k2(k≠0)是属于3=3的全部特征向量.,基础解系为1=(0,0,1)T.得同解方程:的特征值和特征向量.解A的特征多项式为=(-1)[(-2)2-1]=(-1)2(-3)所以A的特征值为1=2=1,3=3.对1=2=1,解方程(E-A)x=0,由于例2求矩阵所以属于1

8、=2=1的全部特征向量为K11+k22(k1,k2不同时为0)对3=3,解方程(A-3E)x=0,由于得同解方程:,基础解系为3=(1,-1,1)T.所以k3(k≠0)是属于3=3的全部特征向量.,基础解系1=(1,1,0)T,2=(0,0,1)T.得同解方程:设方阵A可逆,且λ是A的特征值,证明1/λ是A-1的特征值.例3证首先证明λ≠0.用反证法:假设λ=0是A的特征值,则再设是A对应特征值λ的特征向量,则A=λ所以1/λ是A-1的特征值,而且与A有相同的特征向量.类似地,若λ是A的特

9、征值,则λk是Ak的特征值.0E-A=-A=0,这与A可逆矛盾,故λ≠0.一般地,若λ是A的特征值,则(λ)=a0+a1+…+amm是(A)=a0E+a1A+…+amAm的特征值.A-1=λ-1二.特征值和特征向量的性质由于=n-(a11+a22+…+ann)n-1+…+(-1)n

10、A

11、利用多项式方程根与系数的关系可得:定理6.1设1,2,…,n是n阶方阵A的全部特征值,则1+2+…+n=a11+a22+…+ann12…n=detA定理6.2设1,2,…,s是方阵A

12、的互异特征值,1,2,…,s是分别属于它们的特征向量,那么1,2,…,s线性无关.证明设x11+x22+…+xss=0,则类似地有:A(x11+x22+…+xss)=0,即1x11+2x22+…+sxss=01kx11+2kx22+…+skxss=0(k=0,1,…,s-1),即所以有(x11,x22,…,xss)=(0,0,…,0)定理6.3设1,2是A的两个互异特征值,1,2,…,s和1,2,…,t分别是属于1,2的线性无关的特征向量,

13、则1,2,…,s,1,2,…,t线性无关.即,xjj=0,但j0,故xj=0,(j=1,2,…,s)所以向量组1,2,…,s线性无关.证明设k11+k22+…+kss+l11+l22+…+ltt=0若=k11+k22+…+kss0,=l11+l22+…+ltt0则由+=0,而,分别是属于1,2的特征向量,矛盾.所以==0,即k1=k2=…=ks=l1=l2=…=lt=0,线性无关.例4解由于A的特征值都不为0,故A可逆.而

14、A

15、=-2于是A*

16、=AA-1=-2A-1.于是设3阶方阵A的特征值为1,-1,2,求

17、A*+3A-2E

18、.A*+3A-2E=-2A-1+3A-2E=(A)(A)的3个特征值为:(1)=-1,(-1)=-3,(2)=3,于是

19、A*+3A-2E

20、=

21、(A)

22、=(-1)(-3)3=9§2相似矩阵定义6.3设A,B都是n阶方阵,若存在可逆矩阵P,使一.相似矩阵的定义和性质矩阵的相似