线性代数课件 05.特征值及特征向量

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1、一、特征值与特征向量的定义二、特征值与特征向量的性质三、特征值与特征向量的求法第一节方阵的特征值与特征向量一、特征值与特征向量的定义注意（1）是方阵（2）特征向量是非零列向量（4）一个特征向量只能属于一个特征值（3）方阵的与特征值对应的特征向量不唯一定义1设是阶方阵，若数和维非零列向量，使得成立，则称为方阵的对应于特征值的一个特征向量。是方阵的一个特征值，定义满足设A是n阶方阵，如果数和n维非零列向量则称为A的特征值，非零向量称为A的对应于(或属于)特征值的特征向量。把(1)改写为是A的特征值使得(2)有非零解(2)的所有非零解向量都是对应于的特征向量.分析或已知所以齐次线性方程组有非零

2、解或是关于的一个多项式，称为矩阵的特征多项式。定义2已知数，则为A的特征矩阵称为矩阵的特征方程。特征方程的根即为A的特征值。由代数基本定理，特征方程在复数范围恰有n个根(重根按重数计算)。因此，n阶方阵在复数范围恰有n个特征值。本章关于特征值、特征向量的讨论永远假设在复数范围内进行。定理5.1.2推论设n阶方阵特征值为,则又定理5.1.3设是方阵A的特征值，对应的一个特征向量证明(1)是kA的特征值，对应的特征向量仍为x。(2)是的特征值，对应的特征向量仍为x。(3)当A可逆时，是的特征值，对应的特征向量仍为x。证性质1二、特征值与特征向量的性质设是方阵A的特征值，则是的特征值。的特征值。如

3、果A可逆，则的特征值。是是推广性质2：矩阵和的特征值相同。注意：特征值相同并不意味着特征向量相同。（4）定理5.1.1设3阶矩阵A的三个特征值为求解A的特征值全不为零，故A可逆。的三个特征值为计算得因此，例1是对应于的特征向量，两边左乘A，证设有一组数性质三注意１.属于不同特征值的特征向量是线性无关的．２.属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量．３.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特征向量不能属于不同的特征值．三、特征值与特征向量的求法求出即为特征值;例2求解的特征值与特征向量.当时,解同解方程组特征值为是时全部特征

4、向量。得基础解系为当时,解同解方程组是时全部特征向量。得基础解系为T解第一步：写出矩阵A的特征方程，求出特征值.的特征值和全部特征向量.特征值为第二步：对每个特征值代入齐次线性方程组求非零解。例3齐次线性方程组为得基础解系是对应于的全部特征向量.当时，系数矩阵自由未知量:令得基础解系:常数)是对应于的全部特征向量.齐次线性方程组为当时，证明A的特征值只能取1或2.解特征值只能取0，例4、(1)向量满足,是A的特征向量吗？(2)实矩阵的特征值(特征向量)一定是实的吗?(3)矩阵A可逆的充要条件是所有特征值______.，A有一个特征值为______.(4)，A有一个特征值为______.可逆,

5、A的特征值一定不等于______.回答问题(5)一个特征值对应于几个特征向量?一个特征向量对应几个特征值?(后面证明)(6)A的各行元素之和均等于2,则A有一个特征值是___,它对应的特征向量是______。特征向量的个数=____。是的一个特征值，它对应的最大无关的一、单选题１．可逆矩阵Ａ与矩阵（）有相同的特征值．①ＡＴ；②Ａ－１；③Ａ2；④Ａ＋Ｅ２．Ａ为n阶方阵，则（）结论成立．①Ａ可逆，则矩阵Ａ属于特征值λ的特征向量也是Ａ－１属于λ－１的特征向量；②Ａ的特征向量既为方程(λＥ－Ａ)Ｘ＝０的全部解；③特征向量的线性组合仍是特征向量．④Ａ与ＡＴ特征向量相同．课堂练习一、单选题答案：１．①；

6、２．①;3.④３．设Ａ是一个可逆矩阵，则其特征值中（）①有零特征值②有二重特征值零③可能有也可能无零特征值④无零特征值二、填空题１．已知三阶方阵Ａ的三个特征值为１，－２，３．则

7、A

8、＝（），Ａ－１的特征值为（），ＡＴ的特征值为（），Ａ２＋２Ａ＋Ｅ的特征值为（）．２．设Ａk=0，k是正整数，则Ａ的特征值为（）．３．若Ａ２＝Ａ，则Ａ的特征值为（）．－６１，-1/2,1/3１，－２，３．4,1,1600,1二、填空题4．设A是3阶方阵，已知方阵Ｅ－Ａ，Ｅ＋Ａ，３Ｅ－Ａ都不可逆，则Ａ的特征值为（）．５．已知三阶矩阵A的特征值为１，—１，２，则｜Ａ－５Ｅ｜＝（）。1,-1,3-72求矩阵A，B的特征值

9、和特征向量。解（对矩阵A）备用题A的特征值为对于，解方程组同解方程组为，令，得基础解系因此，对应于特征值的所有特征向量为对于，解方程组同解方程组为，令得基础解系因此，对应于特征值的所有特征向量为（对矩阵B）B的特征值为对于，解方程组同解方程组为，令，得基础解系因此，对应于特征值的所有特征向量为对于，解方程组同解方程组为，令，得基础解系因此，对应于特征值的所有特征向量为一、相似矩阵的定义及性质二、矩阵可对角化的