线性代数PPT课件第五章 特征值与特征向量.ppt

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1、第五章特征值与特征向量第一节特征值与特征向量本节研究被一矩阵相乘后变为自身倍数的非零向量,以及该倍数.如取定义1（特征值与特征向量）设是n阶方阵，若存在数和非零向量，使得则称为的特征值，称为的属于(或对应于)的特征向量.(1)(1)可写成注意:特征值与特征向量是针对方阵定义的.另外零向量总满足(1)式，但不是特征向量.设对于固定的,(2)是关于的齐次线性方程组，它有非零解的充要条件是(2)(2)特征值可能是复数.(3)是关于的一元n次方程,称为方阵的特征方程，而它左端的n次多项式称为的特征多项式.表明的特征值是特征方程(3)的根.n阶方阵恰有n个特征值.但需注意两点：(1)n个特征值中有可

2、能有相同的，称为重特征值，即是特征方程的重根.如单位矩阵.如的特征值为根据多项式理论，实矩阵的复特征值是成对出现的..性质1设是的n个特征值，则证明由条件知令,即得(i).另一方面，由行列式定义，中含有的项只出现在：中，故(ii)成立.推论方阵可逆当且仅当它的特征值全不为0.性质2属于的特征向量的非零线性组合仍为属于的特征向量.性质3设为的属于的特征向量,性质4设分别是的属于互不的特征向量，则线性无关.相同的特征值证明归纳法.当，结论成立.时,设时结论成立，当设),()(,)(1010特征向量.仍为其的特征值为则lXfAaAaEaAfxaxaaxfssss+++=+++=LL则，即（2）将

3、（1）式乘以，再减去（2）式得因为线性无关，故而代入（1）式，得因为所以，故线性无关.例１求的特征值和特征向量.解=对于解得基础解系属于的特征向量全体为由得特征值，。对于解得基础解系向量全体为（不全为0）属于的特征例2求的特征值和特征向量.解=对于解得基础解系属于的特征向量全体为由得特征值，。对于解得基础解系属于的特征向量全体为注意：对于重特征值，有可能有重数个线性无关的特征向量，也有可能没有重数个线性无关的特征向量.例3已知为三阶方阵，且，和均不可逆.1）证明：可逆.2）设求证明1）由条件知故1，2，3均为的特征值，所以不是的特征值.因而则2).设的三个特征值为设第二节相似矩阵与矩阵对角

4、化条件定义（相似矩阵）对于n阶方阵若存在可逆阵，使，则称相似于，记作～.（称为相似变换矩阵）相似为一等价关系.有如下重要性质:证明若～，则因为P可逆，故,其中为初等矩阵,于是有表明与等价,故性质1.若～，则性质2若～，则证明若～，则.故性质3若～，则～.性质4若～，则与的特征多项式相同，从而与的特征值也相同.故推论若阶方阵～=则为的所有特征值.证明由～,则存在,使若一矩阵与对角矩阵相似,称此矩阵可对角化.下面讨论矩阵可对角化的条件.定理5阶方阵相似于对角阵的充要条件是有个线性无关的特征向量.=；其中为的个特征值.上式可写成，使证明　必要性.存在.记=则成立，即是的特征向量。因为可逆，故线性

5、无关.满足记将必要性证明的推导过程倒推上去，即可得相似于对角阵。阶方阵的个特征值互异，则相似于对角阵。推论5若有个线性无关的特征向量充分性若注意:本推论的逆不成立。例如上节例1中的有3个线性无关的特征向量，故相似于对角阵。但的3个特征值不互异。例6证明：若则（ⅰ）阶方阵充要条件是：对于的每个*定理6重特征值都有个线性无关的特征向量。即相似于对角阵的（ⅱ）（是的多项式）证明由，成立.故即（ⅱ）设有（ⅰ）即若相似于对角阵=，则，即.于是=.类似可得并易得这样就可以比较简便地计算出和了.第三节.实对称矩阵的对角化一.向量的内积与正交矩阵则与的内积定义为：==向量的内积满足如下性质:定义3（向量内

6、积）设（对称性）ⅰ）；（正定性）（线性性）ⅱ）ⅲ）ⅳ）==定义4（向量长度）对于的长度（或模）定义为：（记作；(正定性）向量的长度满足如下性质：；且（齐次性）2º1º3º；（Cauchy不等式）4º(三角不等式）即↓当时，于是引入如下定义：定义5（向量的夹角）对于当时，定义的夹角为：若，则称与正交，记为，这时性质：1）2)对于,若，则.（勾股定理）长度为1的向量称为单位向量。非零向量的单位化：几何意义：同方向上的单位向量。正交向量组：两两正交的一组非零向量；标准正交向量组：由单位向量组成的正交向量组.定理7若是正交向量组，则线性无关.用与两边作内积得：证明　设由于两两正交，即得：而，于是故

7、无关.正交基：由正交向量组构成的向量空间的基；标准正交基(或单位正交基)：由标准正交向量组构成的向量空间的基.定理8在中，若线性无关，则与某个正交向量组等价.且等价证明令；（为待定系数），要使（线性无关），故从而取又从上式可得等价.则要求成立表明一般已求得正交向量组与等价.令与上式两边作内积得：用由于于是可求得即易见是正交向量组，且由与等价及上式，可得与等价.定理10的证明给出了将一个线性无关的向量组正交化的步骤：如果再