第五章特征值与特征向量ppt课件.ppt

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1、第五章特征值、特征向量、矩阵的相似一.矩阵的特征值与特征向量二.矩阵的相似、矩阵的对角化三.实对称矩阵的对角化一.矩阵的特征值与特征向量1.特征值与特征向量的定义定义：设A是复数域上的n阶方阵，若复数和维非零列向量，使得成立，则称是矩阵A的一个特征值，为A的对应于特征值的一个特征向量。注：(1)A是方阵(2)特征向量是非零列向量(3)一个特征向量只能属于一个特征值(4)方阵A的与特征值对应的特征向量不唯一2.特征值与特征向量的求法或已知所以齐次线性方程组有非零解或定义1：数称为矩阵A的特征多项式。称

2、为矩阵A的特征方程。求特征值、特征向量：求出即为特征值；把得到的特征值代入上式，求齐次线性方程组的非零解即为A的属于的特征向量。解：第一步：写出矩阵A的特征方程，求出特征值.例1：求的特征值和全部特征向量.特征值为代入齐次线性方程组第二步：对每个特征值求非零解。当齐次线性方程组为系数矩阵自由未知量：得基础解系：是对应于的全部特征向量。令当齐次线性方程组为得基础解系是对应于的全部特征向量。3.特征值和特征向量的性质若A的特征值是，是A的对应于的特征向量，则是kA的特征值。(k是任意常数)（3）若A可逆

3、，则是的特征值是的特征值且仍然是矩阵分别对应于的特征向量。是的特征值。(m是正整数)（5）矩阵和的特征值相同。定理：设n阶方阵的n个特征值为则称为矩阵A的迹。（主对角元素之和）为x的多项式，则是的特征值.例2：设为矩阵A的特征值，求的特征值；若A可逆，求的特征值。例3：证明（1）A的同一特征值对应的特征向量的非零线性组合仍为A的属于的特征向量。（2）设是矩阵A的两个不同特征值，分别是对应的特征向量，则不是A的特征向量。解：（1）例4：设（1）求A的特征值和特征向量。（2）求可逆矩阵P，使得为对角阵。

4、自由未知量：得基础解系得当不同时为零)是对应于的全部特征向量.自由未知量：得基础解系当是对应于的全部特征向量.取存在问题：矩阵P是否唯一？矩阵是否唯一？二.相似矩阵的定义及性质定义：设都是n阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使得对A进行运算称为对A进行相似变换。注：矩阵相似是一种等价关系反身性，对称性，传递性则称矩阵A与矩阵B相似，记作A~B性质：相似矩阵有相同的特征多项式、相同特征值、相同的行列式、相同的迹、相同的秩推论：若矩阵与对角阵相似，则是A的n个特征值。（逆命题不成立）例：与单位矩阵相似的n阶矩阵

5、只有单位阵E本身.(1)相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆。当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似。其它一些关于相似矩阵的性质：(3)若A与B相似，则与相似。(m为正整数)(2)若A与B相似，则kA与kB相似。(4)若A与B相似，而是一个多项式，则与相似。三.矩阵的相似对角化对n阶方阵A，如果可以找到可逆矩阵P，使得为对角阵，称为把A(相似)对角化。定理：n阶矩阵A可相似对角化A有n个线性无关的特征向量则设是方阵A的m个不同特征值，其对应的特征向量分别为定理：方阵A的属于不同特征值的特征向量线性无关。设常数

6、使得证明：类似地，有把以上各式合写成矩阵形式，得等号左边第二个矩阵的行列式为Vandermonde矩阵，当互不相同时，其行列式不为0，因此是可逆矩阵。即线性无关。（2）可逆矩阵P由A的n个线性无关的特征向量作列向量构成。(逆命题不成立)推论：若n阶方阵A有n个互不相同的特征值，则A可对角化。注：(1)若则的主对角元素即为A的特征值，如果不计的排列顺序，则唯一，称之为矩阵A的相似标准形。例5：判断下列实矩阵能否化为对角阵？解：得得基础解系当，齐次线性方程组为得基础解系线性无关即A有3个线性无关的特征向

7、量，所以A可以对角化.当，齐次线性方程组为得基础解系所以A不能化为对角矩阵.当，方程组为解：若能对角化，求可逆矩阵P使得为对角阵。例6：设问A能否对角化？得基础解系当，齐次线性方程组为当，齐次线性方程组为得基础解系线性无关，所以A可对角化。令则有注意：若令即矩阵P的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应．则有定理：n阶矩阵A可对角化的充分必要条件是：对于A的每个重特征值，A有个线性无关的特征向量。相应的特征向量是求矩阵A.例7：已知方阵A的特征值是解：因为特征向量是3维向量，所以矩阵A是3阶方阵。

8、因为A有3个不同的特征值，所以A可以对角化。即存在可逆矩阵P，使得其中例8：设解：A可对角化。齐次线性方程组为当系数矩阵令得基础解系：求齐次线性方程组为当系数矩阵令得基础解系：令求得即存在可逆矩阵P，使得例9：设A是n阶方阵，是A的n个特征值，计算解I：设A的特征值是即的特征值是解2：已知A有n个不同特征值，所以A可对角化，即存在可逆矩阵P，使得解I：B的特征值为令3阶矩阵B有3个不同的特征值，所以B可以对角化.例10：已知3阶矩阵A的特征值为1，2，3，设问矩阵B能