第五章特征值和特征向量ppt课件.ppt

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1、第五章特征值和特征向量矩阵的对角化矩阵的特征值矩阵的特征向量矩阵可对角化的条件§5.1预备知识一.向量的内积在空间解析几何中,向量的内积(即数量积或点积)描述了内积与向量的长度及夹角间的关系.内积定义：夹角：向量的长度：内积的坐标表示式：令称为向量x与y的内积.定义1设有n维向量(1)向量x与y的内积是一个实数,注:(2)常用符号(x,y)==[x,y]=x·y.(3)零向量与任一向量的内积为0.当x与y都是列向量时,可以用矩阵乘法表示内积为例1已知=(1,2,1,1)T,=(2,3,1,1)T则·=[,]=12+23+(1)1+1(

2、1)=6也称点积,数量积.“·”[x,y]=xTy=yTx不可省略.性质:（其中x,y,z为n维向量，为实数):（1）（2）（3）（4）当且仅当时等号成立.(以上性质显然成立)定义2称为维向量的长度（或范数）.令设x=(x1,x2,…,xn)T显然

3、

4、x

5、

6、0,当

7、

8、x

9、

10、=1时,称x为单位向量,零向量的长度为0.=(a1,a2)=(a1,a2,a3)n维向量的长度是二维、三维的推广.在R2中，在R3中，证:向量的长度具有下述性质：（1）非负性：（2）齐次性：（3）三角不等式：为实数（1）显然成立.下面证明（2）和（3）.即数乘向量x的长度

11、

12、x

13、

14、等于

15、

16、

17、与

18、

19、x

20、

21、的乘积.(2)根据上式可知，设是非零向量，是一个单位向量.则这是因为任一非零向量除以它的长度后就成了单位向量.这一过程称为将向量单位化.(3)所以由此得当且仅当x与y线性相关时，等号才成立对任意n维向量x,yCauchy-Schwarz不等式：有此不等式还可表示为如果x与y线性相关，不妨设y=kx,则有证：[x,y]2设x与y线性无关，tx+y0，[tx+y,tx+y]0即t2[x,x]+2t[x,y]+[y,y]0的判别式一定小于零.即[x,y]2[x,x][y,y]0或[x,y]2[x,x][y,y]那么对于任意实数t来说，于是最后不等式左

22、端是t的一个二次三项式，由于它对于t的任意实数值来说都是正数，所以它=[x,kx]2=k2[x,x]2=[x,x][y,y]定义3当时，定义4当时，称为维向量与的夹角.称向量与正交(或垂直).定义4'，则称x与y正交.如果x与y的夹角为显然，零向量与任何向量都正交.若一个向量组中任意两个向量都正交，若一个正交向量组中每一个向量都是单位向量，则称此向量组为正交规范向量组或标准正交向量组.则称此向量组为正交向量组.定义5例2设=(1,0,2)T,=(1,0,1)T,求与的夹角.解:·=1(1)+00+21=1所以与的夹角的余弦例3解:·=0

23、设=(1,1,1)T,=(1,0,1)T,求与的夹角.例4Rn中的e1,e2,…,en是一组两两正交的向量若ij,显然有ei·ej=0例5是R4的一个标准正交向量组.可以验证的非零向量组，证：k11+k22+…+krr=0=i·(k11+k22+…+krr)但i·i0,则1,2,…,r线性无关.若n维向量1,2,…,r是一组两两正交设有实数k1,k2,…,kr使得因为当ij时,i·j=0,所以所以1,2,…,r线性无关.定理10=i·0=ki(i·i)所以ki=0,i=1,2,…,n.定理3Rn中任一非零正交

24、向量组中向量的个数不会超过n.在Rn中,如果与1,2,…,r中每一个向量正交,证：k11+k22+…+krr为1,2,…,r的一个线性组合因为·i=0(i=1,2,…,r)所以定理2则与1,2,…,r任意一个线性组合也正交.求非零向量,使成为正交向量组.已知设则例6解：即由得从而有基础解系取即合所求.二.Schmidt正交化方法设,是Rn中的两个向量，定义记称为向量在上的投影纯量.记称向量为向量在上的投影向量.Schmidt正交化方法是将一组线性无关的向量作如下的线性变换，化为一组与之等价的正交向量组的方法：……1.Schmi

25、dt正交化令可以证明：两两正交，向量组与等价.且对任何2.标准化（单位化）令则1,2,…r就是一组长度都是1的正交向量组.先正交化，后标准化，次序不可颠倒.注：例7将正交规范化.先将1，2，3进行正交化，取解:再将它们单位化，取则即为所求.例8已知1=(1,2,2)T,求非零向量2,3,2,3应满足方程1Tx=0，它的基础解系为取2=1=使1,2,3成为正交向量组.解:即x1+2x2+2x3=0将1,2正交化,3=2则2,3就是所求.定义6如果n阶方阵A满足正交矩阵（即A1=AT