第五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件.ppt

《第五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第五章矩阵的特征值和特征向量向量的内积和正交化矩阵的特征值与特征向量相似矩阵实对称矩阵的对角化回忆:§1向量的内积和正交化推广到实数域R上的n维实向量空间定义1内积说明维向量的内积是3维向量数量积的推广，但是没有3维向量直观的几何意义．内积的运算性质(施瓦兹不等式）当时上式显然成立当时，证毕定义2令长度范数向量长度具有以下性质（1）非负性只有当时（2）齐次性（3）三角不等式证明：根据内积的性质有根据施瓦兹不等式，有从而即当时，即定义3注：零向量与任何向量都正交.定义4定义5若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组。定理1若是正交向量组，则该向量组线性无关。设由于对于任

2、意向量则即由于是一正交向量组，故当时，因此有又因为所以故线性无关定义6设n维向量是向量空间的一组基，如果两两正交，且都是单位向量，则称其为标准正交基。例如同理可知基正交基标准正交基（1）正交化，取，（2）单位化，取例1用施密特正交化方法，将向量组标准正交化.解先正交化，令施密特正交化过程再单位化，得标准正交向量组如下例2解把基础解系正交化，即为所求．令定义7定理3为正交矩阵的充要条件是的列(行)向量都是单位向量且两两正交．由此可知A的列向量组构成的一个标准正交基。同样的方法，行向量组也是。例3判别下列矩阵是否为正交矩阵．解（2）由于所以它是正交矩阵．定理2例3设都是阶正交矩阵，且，求

3、．提示：此法为定义法，利用定理3如何证明？解由，可知，于是所以§2矩阵的特征值和特征向量应当注意，根据定义特征向量不能是零向量．给定矩阵A，如何求A的特征值和特征向量呢？设该齐次线性方程组的解空间为．中的任一非零向量都是的属于的特征向量。称为关于的属于特征值的特征子空间根据齐次线性方程组有非零解的条件可知，中就含有非零解向量．的特征方程的特征多项式特征多项式展开为我们知道次复系数多项式有个且恰有个根（重根按重数计算），故阶方阵有个复特征值．设的个特征根（重根按重数计算）为则有将该式展开，然后与上式比较系数，即可得：从上式（２）可看出：，有特征值０的充分必要条件是另外从特征值的定义可知

4、，对角矩阵的特征值就是它的主对角线上的所有元素．若的特征值是，是的属于的特征向量，则的特征值是是任意常数)的特征值是是正整数)若可逆，则的特征值是的特征值是且仍然是矩阵分别对应于的特征向量。特征值还有如下性质：？为x的多项式，则的特征值为(5)方阵的属于不同特征值的特征向量线性无关。(6)矩阵和的特征值相同。求特征值、特征向量的步骤：求齐次线性方程组的一个基础解系即可求出特征值;写出特征方程求其所有的根，所以，A的特征值为按照同样的方法：特点：（1）是代数方程，复数内有个根，有实有虚。实根对应实向量，虚根对应复向量。(2)的特征向量只属于一个特征值，而属于的特征向量却有无数更多个。§

5、3相似矩阵矩阵的相似有以下关系：1）反身性；2）对称性；3）传递性。矩阵相似的性质：4）若与相似，则注：1）定理5的条件必要但不充分。2）若两个矩阵特征值不相同时，则其一定不相似。3）设为他们的某个特征值，为关于的特征向量，则为的关于的特征向量.利用上述结论可以很方便地计算矩阵A的多项式.证明：证毕。说明如果阶矩阵的个特征值互不相等，则与对角阵相似．推论A能否对角化？若能对角例1所以，A的特征值为所以可对角化.注意即矩阵的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应．问为何值时，矩阵能对角化？例有2个线性无关的特征向量时，矩阵能对角化。解例且与相似，求的值。因为与相似，所以它们有相同的特

6、征值2，2，b，解把一个矩阵化为对角矩阵，不仅可以使矩阵运算简化，而且在理论和应用上都有意义。1.由特征值、特征向量求矩阵例2：已知方阵的特征值是相应的特征向量是令分析：2.求方阵的幂例4：设求解：定理７实对称矩阵的特征值为实数.§4实对称矩阵的对角化证明于是证明它们的重数分别为设的互不相同的特征值为又对应于不同特征值的特征向量正交，这样的特征向量共可得个.故这个单位特征向量两两正交.以它们为列向量构成正交矩阵，则例１设求正交矩阵Ｐ，使Ｐ-1ＡＰ为对角矩阵。解显然AＴ=A。故一定存在正交矩阵Ｐ，使Ｐ-1AＰ为对角矩阵。求得一基础解系为正交化，令再单位化，令求得一基础解系为只有一个向量

7、，只要单位化，得，则有例2设3阶实对称矩阵的特征值为对应的特征向量依次为求与正交单位化，得正交阵则解