矩阵论特征值和特征向量ppt课件.ppt

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1、机动目录上页下页返回结束数学科学学院陈建华矩阵论机动目录上页下页返回结束§1.1特征值和特征向量一、方阵的特征值和特征向量二、线性变换的特征值和特征向量机动目录上页下页返回结束1、定义假设A是n阶方阵，如果存在数和非零向量X，使得AX=X称是矩阵A的一个特征值，X是对应于的一个特征向量。一、方阵的特征值和特征向量机动目录上页下页返回结束AX=X非零向量特征向量对应特征值n阶方阵对应于特征值的特征向量不唯一。注：2、求法AX=X(E–A)X=0

2、E–A

3、=0特征方程

4、E–A

5、=

6、–a11–a12…–a1n–a21–a22…–a2n…………–an1–an2…–ann特征多项式E–A特征矩阵特征值特征向量机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束(1)为A的特征值

7、E–A

8、=0.(2)X为A的对应于的特征向量(E–A)X=0,X为非零向量.求特征值和特征向量的步骤：(1)写出A的特征方程

9、EA

10、0;(2)求出A的n个特征值1,2n;(3)对每一特征值i，求解对应的方程组(iEA)X0方程组的非零解就是i的所有特征向量.

11、定理1例1机动目录上页下页返回结束解:A的特征多项式为求矩阵的特征值和特征向量.所以A的特征值为1=2,2=3=1.对于1=2,解方程组(2E–A)X=0,机动目录上页下页返回结束p1=(0,0,1)T.对应于1=2的特征向量为k1p1(0k1R).得基础解系对于2=3=1,解方程组(E–A)X=0,得基础解系p2=(–1,–2,1)T.对应于2=3=1的特征向量为k2p2(0k2R).于是，于是，机动目录上页下页返回结束3、性质（1）2是A2的特征值;（2）-1是A

12、-1的特征值；（3）a+k是aE+kA的特征值（a,k为常数）。且X仍为A2,A-1,aE+kA的分别对应于特征值2,-1,a+k的特征向量。设是方阵A的特征值，X为A的对应于性质1的特征向量，则机动目录上页下页返回结束特征值为1=2,2=3=1.1+2+3=4123=2=a11+a22+a33=

13、A

14、.观察例1机动目录上页下页返回结束设A=(aij)nn的特征值为1,…,n,则(1)1+…+n=a11+…+ann，(2)12…n=

15、A

16、,其中a11+

17、…+ann称为A的迹，记作tr(A).性质2证明：f()=–a11–a12…–a1n–a21–a22…–a2n…………–an1–an2…–ann=(-1)…(-n).f()=n-(a11+…+ann)n-1+…+(-1)n

18、A

19、f()=n-(1+…+n)n-1+…+(-1)n(1…n)比较上述两式n-1项的系数和常数项，可得结论。机动目录上页下页返回结束A可逆当且仅当1,…,n全不为零.的确是方阵的一个特征.推论由此可知,特征值可以刻画方阵的可逆性,（3）

20、AT特征值为1,…,n；（4）AH特征值为机动目录上页下页返回结束设是方阵A的特征值，X为A的对应于性质3的特征向量，则对应的特征向量。P3,定理1.2例2已知三阶方阵A有特征值1，2，3，求

21、E+2A

22、.例3（1）m是Am的特征值;（2）

23、A

24、/是A*的特征值；设是方阵A的特征值，X为A的对应于的特征向量，证明：机动目录上页下页返回结束性质4设i是方阵A的特征值，它的代数重数是ni几何维数是si，则其中：Si是A的属于i的线性无关的特征向量的个数,机动目录上页下页返回结束如果

25、分别是A的属于互不相同的特征值的特征向量，则线性无关.证：对k作数学归纳法.性质5推论特征值的线性无关的特征向量，则向量线性无关.是A的不同特征值，而是属于机动目录上页下页返回结束例4对于n阶方阵A,B,证明：思考题对于n阶方阵A,B,等式AB-BA=E是否成立？二、线性变换的特征值和特征向量设　是数域P上线性空间V的一个线性变换，则称为的一个特征值，称　为　的属于特征值二、线性变换的特征值与特征向量1.定义若对于P中的一个数　　存在一个V的非零向量使得的特征向量.①几何意义：特征向量经线性变换后

26、方向保持由此知，特征向量不是被特征值所唯一确定的，注相同　　　或相反时②若是的属于特征值　的特征向量，则也是的属于　的特征向量.但是特征值却是被特征向量所唯一确定的，即若　　　　　且　　　　　，则设　　是V的一组基，线性变换　在这组基下的矩阵为A.下的坐标记为2.特征值与特征向量的求法分析：设　是　的特征值，它的一个特征向量　在基则在基　　　　　下的坐标为而的坐标是于是又从而又即是线性方程组的解，∴有非零解.所以它的系数行列式以上分析说明：若　是　的特征值，则反之，若　　　满足则齐