特征值和特征向量.ppt

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1、第五章矩阵的特征值和特值向量§1矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量是矩阵理论中重要个概念之一,它有着广泛的应用.本章将引进特征值和特征向量的概念及其计算.并给出将矩阵对角化的方法.一.定义和求法定义6.1设A是n阶方阵,如果数和n维非零列向量满足关系式A=则称为A的特征值,为A的属于的一个特征向量.如果是A的属于的特征向量，那么对k≠0,k也是A的属于的特征向量，这是因为可见,特征向量不唯一，可有无穷多个。下面考虑如何求出A的特征值和相应的特征向量.A（k)=kA=

2、k=(k)由A=，可得(EA)=0可见,是n元齐次线性方程组(EA)x=0的非零解.所以有

3、EA

4、=0.定义6.2设A是n阶方阵,是参数,则行列式称为方阵A的特征多项式.称det(EA)=0为方阵A的特征方程.A的特征值就是特征方程的解,n阶方阵A有n个特征值.A的属于特征值＝i的特征向量就是齐次线性方程组(iEA)x=0的所有非零解.的全部特征值和相应的特征向量.解A的特征多项式为=(-1)[(-2)2-1]=(-1)2(-3)所以A的特征值为1=

5、2=1,3=3.对1=2=1,解方程(E-A)x=0,由于例1求矩阵所以k1(k≠0)是属于1=2=1的全部特征向量.对3=3,解方程(3E-A)x=0,由于得同解方程:,基础解系为2=(-1,1,1)T.所以k2(k≠0)是属于3=3的全部特征向量.,基础解系为1=(0,0,1)T.得同解方程:的全部特征值和特征向量.解A的特征多项式为=(-1)[(-2)2-1]=(-1)2(-3)所以A的特征值为1=2=1,3=3.对1=2=1,解方程(E-A)x=0,由于

6、例2求矩阵所以属于1=2=1的全部特征向量为K11+k22(k1,k2不同时为0)对3=3,解方程(A-3E)x=0,由于得同解方程:,基础解系为3=(1,-1,1)T.所以k3(k≠0)是属于3=3的全部特征向量.,基础解系为1=(1,1,0)T,2=(0,0,1)T.得同解方程:设方阵A可逆,且λ是A的特征值,证明λ≠0且1/λ是A-1的特征值.例3证首先证明λ≠0.用反证法:假设λ=0是A的特征值,则再设是A的属于特征值λ的特征向量,则A=λA-1=1/λ所以1/λ是

7、A-1的特征值,而且与A有相同的特征向量.类似地,若λ是A的特征值,则λk是Ak的特征值.0E-A=-A=0,这与A可逆矛盾,故λ≠0.一般地,若λ是A的特征值,则(λ)=a0+a1+…+amm是(A)=a0E+a1A+…+amAm的特征值.解由于由于－1的倒数也是A－1的特征值，因此A*必有特征值：1所以，A*=－A－1故，应选“B”。二.特征值和特征向量的性质由于=n-(a11+a22+…+ann)n-1+…+(-1)n

8、A

9、利用多项式方程根与系数的关系可得:定理6.1设1,

10、2,…,n是n阶方阵A的全部特征值,则1+2+…+n=a11+a22+…+ann12…n=detA定理6.2设1,2,…,s是方阵A的互异特征值,1,2,…,s是分别属于它们的特征向量,那么1,2,…,s线性无关.证明设x11+x22+…+xss=0类似地有:则,A(x11+x22+…+xss)=0,即1x11+2x22+…+sxss=01kx11+2kx22+…+skxss=0(k=0,1,…,s-1),即所以有(x11,x22,

11、…,xss)=(0,0,…,0)定理6.3设1,2是A的两个互异特征值,1,2,…,s和1,2,…,t分别是属于1,2的线性无关的特征向量,则1,2,…,s,1,2,…,t线性无关.即,xjj=0,但j0,故xj=0,(j=1,2,…,s)所以向量组1,2,…,s线性无关.证明设k11+k22+…+kss+l11+l22+…+ltt=0,=k11+k22+…+kss,=l11+l22+…+ltt。则+=0而,是属于不同特征

12、值1,2的特征向量,根据定理6.2，必有==0,即k1=k2=…=ks=l1=l2=…=lt=0,线性无关.例4解由于A的特征值都不为0,故A可逆.并且

13、A

14、=123=-2，A*=AA－1=－2A－1.设3阶方阵A的特征值为1,-1,2,求

15、A*+3A-2E

16、.A*+3A-2E=-2A-1+3A-2E＝B的3个特征值为μ1＝－21-1+31－21=－1,μ2＝－3，μ3＝3,于是

17、A*+3A-2E

18、=μ1μ2μ3=(