特征值特征向量课件.ppt

《特征值特征向量课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第四章矩阵的相似对角化4.1矩阵的特征值和特征向量相似矩阵说明一、特征值与特征向量的概念显然,n阶矩阵A的特征多项式是l的n次多项式.特征多项式的k重根也称为k重特征值.当n5时,特征多项式没有一般的求根公式,即使是三阶矩阵的特征多项式,一般也难以求根,所以求矩阵的特征值一般要采用近似计算的方法,它是计算方法课中的一个专题.在作业和考试中,一般是三阶行列式求特征值,一般用0,1,-1,2,-2进行尝试先得到一个根,则剩下的两个根可用解一元二次方程的办法解.求矩阵特征值与特征向量的步骤：解例1例２解例３设求A的特征值与特征向量．解得基础解系为：故A,B的n个特征值就是n个主对角元.例4

2、主对角元为a11,a22,...,ann的对角阵A或上(下)三角阵B的特征多项式是

3、lI-A

4、=

5、lI-B

6、=(l-a11)(l-a22)...(l-ann),故当k1X1+k2X20时,是A的属于l0的特征向量.5.1.2特征值和特征向量的性质定理1若X1和X2都是A的属于特征值l0的特征向量,则k1X1+k2X2也是A的属于l0的特征向量(其中k1,k2是任意常数但k1X1+k2X20)证由于X1,X2是齐次线性方程组(l0I-A)X=0的解,因此k1X1+k2X2也是上式的解,特征多项式的性质中出现,故有而常数项所以比较系数得定理2推论方阵A可逆的充分必要条件是A的特征值全

7、不为零.例5解由于l1-l20,则X=0,而这是不可能的.由定理2可知,当detA0时,A的特征值全为非零数;当detA=0时,A至少有一个零特征值.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的.一个特征向量不能属于不同的特征值,这是因为,如果X同时是A的属于特征值l1,l2(l1l2)的特征向量,即有AX=l1X且AX=l2X,则l1X=l2X即(l1-l2)X=0.且X仍是矩阵kA,Am,A-1,的分别对应于特征值kl,lm,1/l,的特征向量.矩阵的特征值和特征向量还有以下性质:性质1:若l是矩阵A的特征值,X是A在属于l的特征向量,则(i)kl是kA的特征值(k是任意常数),

8、(ii)lm是Am的特征值(m是正整数),(iii)当A可逆时,l-1是A-1的特征值;故l-1是A-1的特征值,且X也是A-1对应于l-1的特征向量.证已知AX=lX(i)kl是kA的特征值(k是任意常数),这是因为(kA)X=k(AX)=klX,即kl是kA的特征值,X是kA的属于特征值kl的特征向量.(ii)A(AX)=A(lX)=l(AX)=l(lX),即A2X=l2X再继续上述步骤m-2次,就得AmX=lmX.(iii)当A可逆时,l0,由AX=lX可得A-1(AX)=A-1(lX)=lA-1X,因此A-1X=l-1X因此,A和AT有完全相同的特征值.性质2矩阵A和AT的特征

9、值相同.证因为(lI-A)T=(lI)T-AT=lI-AT所以det(lI-A)=det(lI-AT)属于各个特征值的线性无关的向量合在一起仍线性无关。性质3属于不同特征值的特征向量线性无关。只证两个特征向量的情况.证(1)(2)推广例6多项式证略例如,矩阵A的有一个特征值为2,则有一个特征值7.例7证幂等矩阵例6多项式证略例如,矩阵A的有一个特征值为2,则有一个特征值7.例7幂等矩阵练习:例8解由性质4,例1：设A为三阶矩阵，满足det(3A+2E)=0,det(A-E)=0,det(3E-2A)=0，则det(A*-E)=()。(A)；(B)；(C)；(D)A例2：设n阶矩阵A可逆，

10、是A的属于特征值的特征向量，则下列结论中不正确的是()。是-2A的属于特征值-2的特征向量；是(A)-1的属于特征值22的特征向量；是A*的属于特征值detA-1的特征向量；是AT的属于特征值的特征向量；D例3：设=2为三阶矩阵A的特征值，1，2是A的属于特征值=2的特征向量，若1=(1,2,0)T，2=(1,0,1)T，向量ß=(-1,2,-2)T，则Aß=()。(2,2,1)T；(-1,2,-2)T；(-2,4,-4)T；(-2,-4,4)T；C例6：设向量=(a1,a2,…,an)T，=(b1,b2,…,bn)T都是非零向量，且满足条件aT=

11、0,记A=aT.试求(1)A2，(2)矩阵A的特征值,特征向量。例4：设向量=(1,k,1)T是矩阵的逆矩阵A-1特征向量，试求常数k的值。例5：设矩阵其行列式detA=-1，A的伴随矩阵A*有一个特征值0，属于0的一个特征向量=(-1,-1,1)T，求a,b,c和0的值。思考题思考题解答4.2矩阵可对角化的条件所谓矩阵可对角化的条件指的是,矩阵与对角阵相似.本节讨论矩阵可对角化的条件.其主要结论是:矩阵可对角化的充分必