“过程→生成”理念下：行列式概念的教学设计

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1、“过程→生成”理念下：行列式概念的教学设计　　摘要："过程→生成"教学理念认为：教学要向学生展现"有价值有思想有活力的、顺应学生思维与教育规律的、具有整体性连续性生成性的知识生成过程"，基于"过程→生成"教学理念，给出了行列式概念的教学设计。　　关键词："过程→生成"教学理念；行列式；教学设计　　教学改革最根本的问题是观念问题，如果传统的注入式观念不能根除，那么改革就只能是娓娓动听的空谈阔论，所以我国的教育改革的根本点是教学观念上的破旧立新。那么新为何也？我们认为"过程→生成"教学理念是理想的选择。所谓"过程→生成"教学，就是向学生展现"有价值有思想有活力的

2、、顺应学生思维与教育规律的、具有整体性连续性生成性的知识生成过程"，具体论述请见笔者《论"过程→生成"教学》一文①或见文献[1，2]，本文只说明两个基本观点：一是"过程→生成"理念认为教学必须通过良好的知识生成过程使学生有思想、会思维、明事理；二是"过程→生成"理念认为最基本的是做到通过有思想、显能力、求创新的知识生成过程潜移默化地影响、熏陶学生，并在此基础上尽可能地践行"创新型"的教学方法，培养学生的素质、提高学生的能力。　　本文基于"过程→生成"理念，设计"行列式概念"的生成过程，意在抛砖引玉，期望推广"过程→生成"教学理念。　　一、设计说明　　关于行列

3、式的教学大都是这样处理的（如文献[3-5]）：对角化方法解二、三阶行列式→排列→阶行列式定义。为何"中间插入"了一个"排列"？为何阶行列式要那样定义？显然，如此处理丧失了思维的连续性与概念的生成性，结果只能使学生莫名其妙，不利于学生基本素质与创新能力的培养。因此本文根据"过程→生成"教学理念，给出了阶行列式概念的生成过程，企图改变这种传统的注入式教学方法。　　二、具体设计　　1、生成二、三阶行列式：　　用加减消元法解线性方程组　　得：　　x1=，x2=　　此解相当于一个求解公式，但不好记忆，于是寻找记忆方法。首先考察因为x1与x2的分母，因为其是由方程组的所

4、有系数构成的，所以将方程组的系数按其位置排列并记为　　D2=a11a12　　a21a22，　　再比较D2与x1与x2的分母a11a22-a12a21，发现只要对D2使用一种"对角线规则"即可轻易地记忆a11a22-a12a21；其次考察x1与x2的的分子，发现其形式与a11a22-a12a21的形式相同，并且分别用　　Dx1=b1a12、Dx2=a11b1　　b2a22a21b2　　使用同样的对角线规则来记忆x1的分子与x2的分子也非常容易。由此看来D2、Dx1、Dx2的形式及相应的"对角线规则"很有使用价值，为了使用方便，即将其抽象定义为二阶行列式，这样即

5、得到二元一次方程组的二阶行列式求解公式x1=，x2=。　　同样分析、处理三元线性方程组而生成三阶行列式，且得到三元一次方程组的三阶行列式求解公式。　　例题：（略）　　2、推广到阶行列式：　　希推广二、三元方程组的行列式求解公式到元线性方程组，为此需推广二、三阶行列式的定义到n阶行列式Dn=│aij│n。比较二、三阶行列式的对角线规则发现对角线展开规则没有规律不便推广，于是只能分析D2与D3展开式的特点来推广。研究：　　D2=│aij│2=a11a22-a12a21；　　D3=│aij│3=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a13a2

6、2a31-a12a21a33-a11a23a32　　发现：　　D2的表达式的各项是取于│aij│2的不同行不同列的2个元素乘积的代数和，共2！=2项，　　D3的表达式的各项是取于│aij│3的不同行不同列的3个元素乘积的代数和，共3！=6项，　　由此规律即可认为：　　Dn的展开式的各项也应是取于│aij│n的不同行不同列的n个元素乘积的代数和，共n！项。　　剩下的就是确定各项的符号。分析如下：　　形式上看找不到确定符号的规律，不过仔细分析D2=│aij│2=a11a22-a12a21的符号关系：a11a22是第一行第一列的元素与第二行第二列的元素的乘积，取"

7、+"，而a12a21是第一行第二列的元素与第二行第一列的元素的乘积，取"-"，使我们感觉各项的符号可能与该项因子的取法相关，于是分析各项因子的选取顺序与该项符号的关系，为方便应确定一种基本选取顺序，比如规定：行按照自然顺序，而列的取法任意，于是即可写出表达式的一般项的形式如下：　　a1k1a2k2...anknk1k2...kn是1，2，...，n的全排列　　此时由于各项行标的排列都相同，所以只需要分析其"列标排列"与其符号的关系。D2的情况如下：　　而对于D3，"列标排列"中高个子在前的不止一个，于是"涌现"出一种思维--统计高个子在前的次数：　　由此发现

8、：当行标排列为自然排列时，各项的符号可由其列标排列中