《理论力学》第十七章 虚位移原理

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1、第17章虚位移原理※引言※约束及其分类※自由度和广义坐标※以广义坐标表示的质点系平衡条件※虚位移原理※虚位移和理想约束※质点系在有势力作用下的平衡问题※结论与讨论引言虚位移原理是应用功的概念分析系统的平衡问题，是研究静力学平衡问题的另一途径。对于只有理想约束的物体系统，由于求知的约束反力不作功，有时应用虚位移原理求解比列平衡方程更方便。虚位移原理与达朗伯原理结合起来组成动力学普遍方程，又为求解复杂系统的动力学问题提供另一种普遍的方法。这些理论构成分析力学的基础。§17-1约束及其分类约束——物体运动所受到的限制1.几何约束与运动约束yxOAA0l几何约

2、束在质点系中，所加的约束只能限制各质点在空间的位置或质点系的位形。COyxvCC*运动约束在质点系中，所加的约束不仅限制各质点在空间的位置，还限制它们运动的速度。OyxAxByBxAyABvA2.定常约束与非定常约束定常约束－约束方程中不显含时间的约束：非定常约束－约束方程中显含时间的约束：yxvOM3.单面约束与双面约束双面约束——约束方程可以写成等式的约束。单面约束——约束方程不能写成等式、但是可以写成不等式的约束。BByxOyxOyxO单面约束还是双面约束？约束方程？yxOAAA0lA0l3.单面约束与双面约束4.完整约束与非完整约束完整约束——约束

3、方程不包含质点速度，或者包含质点速度但约束方程是可以积分的约束。非完整约束——约束方程包含质点速度、且约束方程不可以积分的约束。4.完整约束与非完整约束COyxvCC*OyxAxByBxAyAvA约束方程不可积分，所以导弹所受的约束为非完整约束。圆轮所受约束为完整约束。B§17-2广义坐标与自由度yxOlA(x,y)yxOA(x1,y1)B(x2,y2)ab广义坐标——确定质点系位形的独立参变量。广义坐标——确定质点系位形的独立参变量。用q1，q2，…表示。自由度——在完整约束条件下，确定质点系位置的独立参变量的数目等于系统的自由度数。对于稳定的完整

4、约束，各质点的坐标可以写成广义坐标的函数形式N=3n—s§17-3虚位移和理想约束1.虚位移xyOBAMF质点系在给定瞬时，为约束所允许的无限小位移——虚位移（1）虚位移是假定约束不改变而设想的位移；（2）虚位移不是任何随便的位移，它必须为约束所允许；（3）虚位移是一个假想的位移，它与实位移不同；（4）在完整定常约束下，虚位移方向沿其速度方向。虚位移与实位移的区别和联系（1）在完整定常约束下，实位移是诸多虚位移中的一个；MM1drdrerdr——实位移r——虚位移实位移——质点或质点系在其真实运动中，在一定的时间间隔内发生的位移。（2）在完整定常约束下

5、，虚位移方向沿其速度方向。2.虚功质点或质点系所受的力在虚位移上所作的功——虚功。W=F·r3.理想约束质点或质点系的约束反力在虚位移上所作的虚功等于零，我们把这种约束系统称为理想约束。W=M·∑FNi·ri=0§17-4虚位移原理FiFNim1m2miriFi——主动力FNi——约束反力ri——虚位移Fi+FNi=0Fi·ri+FNi·ri=0∑Fi·ri+∑FNi·ri=0∑FNi·ri=0∑Fi·ri=0对于具有理想约束的质点系，其平衡条件是：作用于质点系的主动力在任何虚位移中所作的虚功的和等于零——虚位移原理∑Fi·r

6、i=0上式称为虚位移原理的解析表达式应用虚位移原理解题时，主要是建立虚位移间的关系，通常采用以下方法：（1）通过运动学关系，直接找出虚位移间的几何关系；（2）建立坐标系，选广义坐标，然后仿照函数求微分的方法对坐标求变分，从而找出虚位移（坐标变分）间的关系。例题1已知：OA=r,AB=l,不计各杆质量。求：平衡时F与M间的关系。BAO解：取系统为研究对象∑Fi·ri=0由运动学关系可知：MFCBADM例题2已知：菱形边长为a,求：物体C所受到的压力。螺距为h，顶角为2，主动力偶为M.FNrArC解：(1)取系统为研究对象(2)建立虚位移间

7、的关系xyCBADMFN解法二：取建立图示坐标系rCOABCDPQ例题3图示操纵汽门的杠杆系统，已知OA/OB=1/3，求此系统平衡时主动力P和Q间的关系。rBrA解：(1)取系统为研究对象由运动学关系可知：例题4图示系统中除连接H点的两杆长度为l外,其余各杆长度均为2l,弹簧的弹性系数为k,当未加水平力P时弹簧不受力，且=0，求平衡时水平力P的大小。解：(1)建立图示坐标系(2)系统的虚功方程(2)系统的虚功方程例题5求图示连续梁的支座反力。PMqll2lABCD解：(1)解除D处约束，代之以反力FD，并将其视为主动力。PMqABCDF

8、DsEsD其中解得(2)解除B处约束，代之以反力FB，并将其视