理论力学13虚位移原理

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1、第十三章虚位移原理在第一篇静力学中，我们从静力学公理出发，通过力系的简化，得出刚体的平衡条件，用来研究刚体及刚体系统的平衡问题。在这一章里，我们将介绍普遍适用于研究任意质点系的平衡问题的一个原理，它从位移和功的概念出发，得出任意质点系的平衡条件。该原理叫做虚位移原理。它是研究平衡问题的最一般的原理，不仅如此，将它与达朗伯原理相结合，就可得到一个解答动力学问题的动力学普遍方程。动力学2§13–1约束及其分类§13–2自由度广义坐标§13–3虚位移和虚功§13–4理想约束§13–5虚位移原理第十六章虚位移原理3§13-1约束及其分类动力学一

2、、约束及约束方程限制质点或质点系运动的各种条件称为约束。将约束的限制条件以数学方程来表示，则称为约束方程。平面单摆例如：曲柄连杆机构4动力学根据约束的形式和性质，可将约束划分为不同的类型，通常按如下分类：二、约束的分类1、几何约束和运动约束限制质点或质点系在空间几何位置的条件称为几何约束。如前述的平面单摆和曲柄连杆机构例子中的限制条件都是几何约束。当约束对质点或质点系的运动情况进行限制时，这种约束条件称为运动约束。例如：车轮沿直线轨道作纯滚动时。5动力学几何约束：运动约束：当约束条件与时间有关，并随时间变化时称为非定常约束。约束条件不随

3、时间改变的约束为定常约束。前面的例子中约束条件皆不随时间变化，它们都是定常约束。2、定常约束和非定常约束例如：重物M由一条穿过固定圆环的细绳系住。初始时摆长l0,匀速v拉动绳子。x2+y2=(l0-vt)2约束方程中显含时间t6动力学如果在约束方程中含有坐标对时间的导数（例如运动约束）而且方程中的这些导数不能经过积分运算消除，即约束方程中含有的坐标导数项不是某一函数全微分，从而不能将约束方程积分为有限形式，这类约束称为非完整约束。一般地，非完整约束方程只能以微分形式表达。3、完整约束和非完整约束如果约束方程中不含有坐标对时间的导数，或者

4、约束方程中虽有坐标对时间的导数，但这些导数可以经过积分运算化为有限形式，则这类约束称为完整约束。7在两个相对的方向上同时对质点或质点系进行运动限制的约束称为双面约束。只能限制质点或质点系单一方向运动的约束称为单面约束。动力学例如：车轮沿直线轨道作纯滚动，是微分方程，但经过积分可得到（常数），该约束仍为完整约束。4、单面约束和双面约束几何约束必定是完整约束，但完整约束未必是几何约束。非完整约束一定是运动约束，但运动约束未必是非完整约束。刚杆x2+y2=l2绳x2+y2l28动力学双面约束的约束方程为等式，单面约束的约束方程为不等式。我们

5、只讨论质点或质点系受定常、双面、完整约束的情况，其约束方程的一般形式为（s为质点系所受的约束数目，n为质点系的质点个数）9动力学§13-2广义坐标与自由度定义：能决定系统几何位置的、彼此独立的一组时间变量称为该系统的广义坐标，或称独立坐标。定义：广义坐标对时间的导数称为广义速度一个自由质点在空间的位置：（x,y,z)3个一个自由质点系在空间的位置：(xi,yi,zi)(i=1,2……n)3n个对一个非自由质点系，受s个完整约束，（3n-s)个独立坐标。其自由度为k=3n-s。确定一个受完整约束的质点系的位置所需的独立坐标的数目，称为该质

6、点系的自由度的数目，简称为自由度。例如,前述曲柄连杆机构例子中,确定曲柄连杆机构位置的四个坐标xA、yA、xB、yB须满足三个约束方程,因此有一个自由度。10动力学一般地，受到s个约束的、由n个质点组成的质点系，其自由度为通常，n与s很大而k很小。为了确定质点系的位置，用适当选择的k个参数（相互独立），要比用3n个直角坐标和s个约束方程方便得多。用来确定质点系位置的独立参数，称为广义坐标。广义坐标的选择不是唯一的。广义坐标可以取线位移（x,y,z,s等）也可以取角位移（如,,,等）。在完整约束情况下，广义坐标的数目就等于自由度数

7、目。11动力学例如：曲柄连杆机构中，可取曲柄OA的转角为广义坐标，则：广义坐标选定后，质点系中每一质点的直角坐标都可表示为广义坐标的函数。12动力学例如：双锤摆。设只在铅直平面内摆动。两个自由度取广义坐标，13动力学一般地，设有由n个质点组成的质点系，具有k个自由度，取q1、q2、……、qk为其广义坐标，质点系内各质点的坐标及矢径可表为广义坐标的函数。14动力学§13-3可能位移、实位移、虚位移在dt时间内产生、满足所有约束条件的位移称为系统的可能位移。如果可能位移还满足系统的运动微分方程和初始条件，则一定是系统的一组真实运动位移

8、，称为系统的实位移。在质点系运动过程的某瞬时，质点系中的质点发生的为约束允许的任意的无限小位移，称为质点系（在该瞬时）的虚位移。等时位移的发生不需要时间，这在实际中是不可能的，因此，我们将这种满足约束的等时