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1、广义变分不等式问题的一种新投影类方法第37卷第2期2011年4月曲阜师范JournalofQufu大学NormalUniversityVo1.37No.2Apr.2011广义变分不等式问题的一种新投影类方法岳丽①,古鲁峰①,邵珠艳①,丁际环②(①济宁医学院信息工程学院;②曲阜师范大学运筹与管理学院,276826,山东省13照市)摘要:提出了一种求解广义变分不等式问题的新投影方法,该方法利用了一种新的搜索方向.并证明了新算法对伪单调算子的广义变分不等式具有全局收敛性.关键词:广义变分不等式,伪单调算子,全局收敛,投影法中图分类号:0221.2文献标识码:A文章编号:1001
2、.5337(2011)02--0027-050引言设H是一Hilbert空间,其内积和范数分别记为(?)及II?lI,为Hilbert空问的非空闭凸子集.广义变分不等式问题(GVIP),求"∈H,g(u)∈K满足(g()一g(M))(")≥0,Vg()∈K,(1)其中:日一日为连续非线性算子,g:一日为连续严格单调非线性算子.该问题在交通,运输,金融,经济,最优化,市场平衡等实际问题中有着广泛的应用.定义由"∈H到K的投影为:P(")=argmin{lI一Mll,∈K}.在求解广义变分不等式问题的众多算法中,投影类算法是一很着名的方法,文[3]给出了其系统的概括1及发展前
3、景,纵观求(VIP)的投影类算法迭代公式』,我们可以看出其关键是寻求函数f(")=÷I『一"二lI的下降方向d,本文通过对前人所提方向分析与计算,提出了新的搜索方向d=一{T(")+pT(cc,)},并将此方向应用于求解(GVIP),当函数T(?)满足一定条件时,可证明算法沿此方向具有全局收敛性.1算法1步0任给Ⅱ.∈K,,∈(0,1),k:=0;步1对∈H,计算g()=P[g(u)一pT()],若llR(")II=0停止,否则计算g()=(1一)g(")+田g(),其中r/=,m是满足下式的最小非负整数m,P<T()一Tg(g()一R(IZ)),R(")>≤
4、or_lR(M)『l.那么通过其中d=一{r,(M)+pT(oJ)},OL=求解¨;g(M")=PK[g(")+d]71(1一)llR(u收稿日期:2010-08—29作者简介:岳丽,女,1979一,硕士,讲师;研究方向:最优化理论与应用;E—mail:yuelijoan@163.com(2)28曲阜师范大学(自然科学版)2011卑步2取:=+1,转步1.2算法收敛性引理1设u是广义变分不等式(1)的解,若:日一Ⅳ是g一伪单调算子,则有(g()一g("),一d)≥(1一)r/f{R(")『i,V"∈且(3)证明由于是广义变分不等式(1)的解,则有(g()一g(),(五))
5、≥0,Vg(v)∈K.又因为:一是g一伪单调算子,所以由上式知(g()一g("),('/3))≥0,(4)在式(1)中取g(v)=g(")一(),有p([g(")一(u)],g()一(Ⅱ)一g()>I>0,从而知(g(//,)一g(//,),pI1[g(/d,)一r/R(u)])≥p叼((u),[g(//,)一r/R()]):一J9叼(R(u),T(M)一奢一[g(")一71R(u)])+p77(R("),T(I1,))≥一o-rIIJR(")II+p(R(u),T(11,)),(5)在投影性质:[一P()r[u—P()]≤o,中取=g()一pT(u),得(P
6、[g(")一pT(")]一g(u)+pT(11,),g(M)一P[g(11,)一pT(11,)])≥0,于是有Prl(R(u),T("))≥叼llR(11,)ll2.(6)由(5)式及(6)式得(g(u)一g("),一d):<g()一g(u),T(u)+p一[g(u)一叼尺(u)])≥(1一o')77『{(")II.定理1设∈H是广义变分不等式(1)的解,u"是由算法1得到的近似解,那么有JIg(")一g()IJ:≤IJg(11,k)～g()lJz一二)-兽.(7)证明由定理的条件及引理1得llg(u")一g()ll≤lIg(")一g()+d)I1=llg(u)一g
7、()Il+2(g(u)一g(),d)+:lld^ll≤IIg()一g()lIz～三二二)_蔓}.定理2设"¨.是由算法1得到的近似解,u∈片是广义变分不等式(1)的解.当日有限维时,并且g:日一日为连续严格单调非线性算子,则
8、irau=五.证明设是广义变分不等式(1)的解,从式(7)可知序列{g(")}是有界的,因为:丑为连续严格单调非线性算子,所以{//,}是有界的,并有<Il.)ud『I"一一'由上式及IldlI的有界性知,存在无限指标集Ⅳ1,有limIlR(//,)Il=0.(8)或存在无限指标集Ⅳ2,使得'imp
