广义非线性互补问题的投影收缩法

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1、1994年5月计算数学第2期广义非线性互补问题的投影收缩法孙德锋（中国科学院应用数学研究所）APROJECTIONANDCONTRACTIONMETHODFORTHENONLINEARCOMPLEMENTARITYPROBLEMANDITSEXTENSIONSSunDe-feng(InstituteofAppliedMathematics,AcademiaSinica)AbstractInthispaperweproposeanewgloballyconvergentiterativemethodforsolvingthenonlinearcomplementarity

2、problemanditsrelatedproblems.Themethodbehaveseffectivelyfornotonlylinearcasesbutalsononlinearcases.Inaspecialcase,ourmethodreducestothesame,aswasdiscussedin[9,11,22)forlinearcases言1.弓I非线性互补问题NCP(R+,F)是指：求x*ER+,使得TF(x*)x*=0,F(x*)ER'.I-,(1.1)其中F为R+到矿中的映射本文考虑如下广义非线性互补问题：求x*EX={xER叩:::;X:::;

3、u},使得TF(x*)位-x*)2:0,VxEX,(1.2)其中l和u是{RU{=}广中的向拭且l::;u.上面的问题记作NCP(X,F).当X=R旱问题(1.2)退化成(1.1)设X*={xEXjx是NCP(X,F)的解｝(1.3)一容易验证，XEX*当且仅当工满足下面的投影方程（般非光滑）—一一P玑x{3F(x)]=x.对某或任{3>0,(1.4)*1993年4月20日收到©1994-2017ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http://wwv184计算数学1994年其中

4、对任意向量yER气Px(Y)=argmin{xEXlllx-yll},(1.5)这里II·II定义为即中的l2范数或者由它诱导的矩阵范数．此结果可见[3].由X的简单性，投影Px(y)容易实现当X是矿中任何其它非空闭凸集时，类似于(1.2)可以定义变分不等式问题（简记为VIP(X,F)).同样可以定义x·={xEXIX是VIP(X,F)的解｝．由[3]知，x是VIP(X,F)的解当且仅当x是投影方程(1.4)的解．故本文集中在求解投影方程(1.4).在数学规划领域，求解NCP(X,F)及VIP(X,F)已经有很长的历史，例如可见[7]定义1.1.映射F:R九－即称为：(

5、a)在集合X上单调如果[F(x)-F(y)jI'(x-y)20,Vx,yEX;(1.6)(b)在集合X上伪单调(pseudomonotone),如果F(yf(x-y)20二F(xf(x-y)20,Vx,yEX;(1.7)一(c)在集合X上强单调，如果存在正常数a,使得1户2[F(x)-F(y))(x-y)2allx-Yll,'vx,yEX;(1.8)(d)在集合X上满足可解性条件，如果X*非空并且对任意x*EX*有TF(x)(x-x*)20,VxEX.(1.9)一当F(x)在X上单调且Lipschitz连续，i.e.,存在正常数L,使得IF(x)-F(y)II�Lllx

6、-YII,Vx,yEX,(1.10)Korpelevichl15l利用外插技术给出了如下的外梯度法(ExtragradientMethod):｛石'�P心-PF(x')],(1.11)k+Ikx=p刘x-{3F(沪）］，其中O

7、f3kF团）］，©1994-2017ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http://wwv2期孙德锋：广义非线性互补问题的投影收缩法185m其中f3k=sa•并且mk是使下式成立的最小非负整数：叩士—xkkkllIIF(云)-F(x)II�(1.13)队：改进的算法不需要映射F(x)的Lipschitz常数，并且有较好的数值结果．但数值结果在一线性情形还不能与[9,10,11]针对线性情形设计的算法相比本文的目的是给出种新的求非线性互补问题的投影