一个基于罚方程的线性互补问题的广义牛顿法

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1、2015年3月高等学校计算数学学报第37卷第1期一个基于罚方程的线性互补问题的广义牛顿法李园韩海山杨丹丹(内蒙古民族大学数学学院，通辽028043)APENALIZEDEQUATIONBASEDGENERALIZEDNEWToNMETHoDFoRSoIⅣINGLINEARCoMPLEMENTARITYPRoBLEMSLiYuanHanHaishanYangDandan(CollegeofMathematics，InnerMongoliaUniversityfortheNationalities，Tongliao028043)AbstractRecently,anewequiv

2、alenttransformationcallednonlinearpenaltyequationisproposedwhichgivesanewwayforsolvinglinearcomplementaryproblems．Inthispaper，wegeneralizethenonlinearpenalizedequation，proposeageneralizedNewtonmethodforsolvingthegeneralizedequationandproveitsglobalconvergence．Numericalresultsshowthefeasibil

3、ityandefectivenessofourmethod．Keywordsoperationsresearch，linearcomplementarityproblem，P—matrix，nonlinearpenalizedequation，generalizedNewtonmethod．AMS(2000)subjectclassifications90C33，65N12，65K10中图法分类号O221．2内蒙古自然科学基金(2011MS0114)收稿日期：2013．07-01．李园等：一个基于罚方程的线性互补问题的广义牛顿法第1期1引言线性互补问题是运筹学与计算数学的一个

4、交叉研究领域，已经广泛应用于力学、交通、经济、金融、控制等领域中出现的许多数学模型，例如障碍和自由边界问题、供应链问题、交通分配问题、经济均衡问题、非均衡博弈论等，这使得线性互补问题成为数学规划中的一个十分热门的研究课题．许多学者对线性互补问题的求解进行了深入的研究，提出了许多算法[1-4]，例如：投影法、光滑牛顿法、非光滑牛顿法、松弛法、内点法、非光滑方程法等．进一步掌握和研究互补问题的各类算法不仅具有理论意义，而且具有实际意义．本文考虑如下线性互补问题(简记作LCP(A，b))：求向量X=(Xl，X2，⋯，z)∈R”，使得Ax—b0，0，(一6)X=0，(1)其中A∈R，

5、b∈R．令K={∈R0}，则求解线性互补问题(1)等价于求解如下变分不等式问题：求向量Z∈K，使得对任意的Y∈K，满足(Y—)Ax(一)b．(2)文[6]构造了如下关于线性互补问题(1)的非线性罚方程：求∈R“，满足Axx+[)、]军=b，其中>0是惩罚因子，七>0，[，“】+=max{u，0)．并且对任意的Y=(yl，Y2，⋯，)∈R和任意的实数，有Y=(，，⋯，蟾)．关于线性互补问题(1)的相对应的非线性罚方程(3)的研究，已经取得了如下成果：1984年，G1OWinski[4j研究了R中变分不等式(2)的形如(3)式的非线性罚方程，证明了在矩阵A对称正定的情况下罚方程的

6、收敛性．2006年，Wang等人[]将美国期权问题转化成一线性互补问题，利用非线性罚方程(3)对其进行了求解，证明了线性互补问题的矩阵为正定时罚方程的解收敛到互补问题的解．2008年，Yang等人[。1在线性互补问题(1)的矩阵为正定，主对角元素大于零，其余元素均小于等于零的条件下证明了当惩罚因子A趋向于无穷大时非线性罚方程(3)的解指数次收敛到线性互补问题的解．同年，2015年3月高等学校计算数学学报Wang等人[]提出了一个带有扰动项的求解非线性抛物型互补问题的非线性罚方程，但是罚方程的解收敛到互补问题的解仍需正定性假设．鉴于上述罚函数方法的收敛性均依赖于线性互补问题的矩

7、阵的正定性假设．李园等人[8-9]将上述罚函数方法进行了推广，在线性互补问题的矩阵为严格行对角占优的上三角形P一矩阵的条件下证明了非线性罚方程(3)的解指数次收敛到线性互补问题(1)的解．本文首先进一步将李园等人[。】的P一矩阵线性互补问题的非线性罚方程进行推广，证明了线性互补问题(1)的矩阵在文献[9】的假设基础上，下对角元素均大于等于零时非线性罚方程(3)的解指数次收敛到线性互补问题(1)的解．其次，虽然非线性罚方程(3)的研究已经取得了部分成果，但是均没有给出该非线性罚方程的求解方法．鉴于此，本文