资源描述：
《解非线性方程的牛顿切线法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、线性方程：非线性方程：（其中不具有的形式）若有∗使得∗，则称∗为方程的根，或称为函数的零点．例如，三次方程ଷయଶଷయଶଷ第37讲解非线性方程的牛顿切线法——问题的引入ିଵଵିଵ五次及五次以上的代数方程不存在一般形式的根式解！阿贝尔[挪]伽罗瓦[法](NielsHenrikAbel)(ÉvaristeGalois)第37讲解非线性方程的牛顿切线法——问题的引入求方程实根可求精确根(根的形式可能很复杂)两种情形无法求精确根求近似根求近似根方法区间收缩法：(1)确定初始含根区间;(2)收缩含根区间.二
2、分法第37讲解非线性方程的牛顿切线法——问题的引入牛顿法思想及迭代公式牛顿法的收敛性第37讲解非线性方程的牛顿切线法——主要内容简单迭代法的基本思想将方程变换为一个等价形式，构造迭代格式ାଵ其中称为迭代函数,也称为不动点方程.对给定的初值，由迭代格式得到的序列称为迭代序列.对于连续函数，如果迭代序列收敛于∗，那么有∗∗∗ାଵ→ஶ→ஶ第37讲解非线性方程的牛顿切线法——牛顿法思想及迭代公式例1通过变换方程ଷ构造不同迭代格式，通过选取合适的初值，比较不同迭代格式的收敛性．变换方程，得到三种不动
3、点方程：ݕଵଷ1ݔݔെ3െ1ܱ121.5െ1ଶെ2െ3ଶ第37讲解非线性方程的牛顿切线法——牛顿法思想及迭代公式భ1ݔ1݇(1)ݔൌଵାݔ3ଶݔൌଵାݔ2య1ݔൌଵାݔଶെ101.51.51.511.3572091.1111110.821.3308611.710000-2.7777731.3258840.9267810.14889741.3249392.243253-1.02267351.3247600.64450221.80546261.3247263.9590010.00210757
4、1.3247190.316390-1.00000481.32471813.150394112564.02收敛发散发散第37讲解非线性方程的牛顿切线法——牛顿法思想及迭代公式牛顿迭代法的基本思想及迭代公式原理：将非线性方程线性化设在其零点∗附近连续可微,是的近似根，在附近用的一阶泰勒多项式近似，有ᇱଵ当ᇱ时，可以取线性方程的根ଵଵ作为∗的第1次近似值.第37讲解非线性方程的牛顿切线法——牛顿法思想及迭代公式ᇱଵ∗同理，当ଵ时,有ଶଵ的第2次近似值ଵ依次类推，当ᇱ时，有ାଵ.作为∗的
5、第k次近似值.牛顿迭代公式f()x迭代函数：()xx=-.f¢()x条件：在∗附近连续可微且.第37讲解非线性方程的牛顿切线法——牛顿法思想及迭代公式牛顿迭代法几何意义ାଵᇱ௫ೖ.ᇱᇱଵଵଵଵଵଶଶ“切线法”∗ଶଵ第37讲解非线性方程的牛顿切线法——牛顿法思想及迭代公式例2用牛顿法求方程ଶ的正根，即求的近似值.迭代公式为：ାଵ取初始近似值为,迭代1~5次的对的近似值如下表迭代次数࢞
6、࢞െ
7、与对照相同的位数010.414213562111.50.085786437121.
8、41666666666670.002453104331.41421568627452.1239ൈ10ି541.41421356237471.5947ൈ10ିଵଶ12第37讲解非线性方程的牛顿切线法——牛顿法思想及迭代公式设满足：(1)在上连续，且;(2)在上ᇱ及ᇳ不变号.在内有唯一的实根∗.称为根∗的一个隔根区间ݕݕ݂ሺܽሻ0,݂ሺܾሻ൏0݂ᇱሺݔሻ൏0,݂ᇳሺݔሻ0（1）ݔ∗ܾ݂ሺܽሻ൏0,݂ሺܾሻ0ݔܽݔܱ݂ܽᇱሺݔሻ0,݂ᇳሺݔሻ0∗ܱݔܾ（1）（2）（2）第37讲解非线性方程的牛顿切线
9、法——牛顿法的收敛性定理1设在上有二阶导数，且满足；ᇱ；ᇳ.∗那么，方程在内有唯一实数根∗，且当取，按牛顿迭代公式给出的点列收敛于∗.第37讲解非线性方程的牛顿切线法——牛顿法的收敛性牛顿法的误差估计由微分中值定理得∗ᇱ∗(在和∗之间)因为∗,所以∗ᇱ记ᇱ,则得,∗ାଵ∗→ஶଶ∗第37讲解非线性方程的牛顿切线法——牛顿法的收敛性例3用切线法求方程ଷଶ的近似解,使误差不超过0.01.解:设ଷଶ.由图可见方程有唯一的正实根∗,且.因为为一隔根区间,在上有2fx¢()=--34432
10、20xx=+->(x)(x),fx¢¢()=-=->642x(320x),mf==min¢¢()xf()31=1.[,]34第37讲解非线性方程的牛顿切线法——牛顿法的收敛性故取,得ଵᇱ∗ଵଵ故ଵ的精度不够.再求ଶᇱ∗ଶଶ因此得满足精度要求的近似解∗.第37讲解非线性方程的牛顿切线法——牛顿法的收敛性ଶଷ例4用牛顿法求解方程，其中ଶଷ分别选取初始点为和.݇ݔሺݔሻ4.0ൌݔሺݔൌ0.6ሻ00.400
