求解非线性互补问题的一类光滑牛顿算法

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1、文章编号：2095-1248（2016）05-0074-08基础科学与工程求解非线性互补问题的一类光滑牛顿算法孙菊贺，纪东辰，王琪（沈阳航空航天大学理学院，沈阳110136）摘要：主要研究一类光滑函数法求解非线性互补问题。基于Ｆｉｓｃｈｅｒ-Ｂｕｒｍｅｉｓｔｅｒ（ＦＢ）互补函数的光滑形式，将非线性互补问题转化为一类光滑的非线性方程组问题。为了求解该光滑非线性方程组问题，提出一类的全局收敛光滑牛顿算法。讨论了方程算子的雅克比矩阵的非奇异性。应用所提出的牛顿方法求解一类互补问题，得到相应的数值结果。关键词：非线性互补问题；互补函数；光滑牛顿法；非光滑性；收敛性中图分类号：Ｏ221.2文献

2、标志码：Ａdoi：10．3969／ｊ．ｉｓｓｎ．2095-1248．2016．05．014AClassofsmoothingnewtonmethodsforsolvingnonlinearcomplementarityproblemＳＵＮＪｕ-ｈｅ，ＪＩＤｏｎｇ-ｃｈｅｎ，ＷＡＮＧＱｉ（ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＳｃｉｅｎｃｅ，ＳｈｅｎｙａｎｇＡｅｒｏｓｐａｃｅＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈｅｎｙａｎｇ110136，Ｃｈｉｎａ）Abstract：Ｗｅｓｔｕｄｙａｃｌａｓｓｏｆｓｍｏｏｔｈｉｎｇｆｕｎｃｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｓｆｏｒｓｏｌｖｉｎｇｎｏｎｌｉｎｅａｒｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔａｒｉｔｙｐｒｏ

3、ｂｌｅｍｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ．Ｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｗｅｌｌ-ｋｎｏｗｎＦｉｓｃｈｅｒ-Ｂｕｒｍｅｉｓｔｅｒｆｕｎｃｔｉｏｎ，ｗｅｔｒａｎｓｆｏｒｍｔｈｅｎｏｎｌｉｎｅａｒｃｏｍｐｌｅｍｅｎ-ｔａｒｉｔｙｐｒｏｂｌｅｍｉｎｔｏａｓｙｓｔｅｍｏｆｎｏｎｌｉｎｅａｒｓｍｏｏｔｈｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｆｏｒｓｏｌｖｉｎｇｔｈｅｓｙｓｔｅｍｏｆｎｏｎｌｉｎｅａｒｓｍｏｏｔｈｅｑｕａ-ｔｉｏｎｓ，ｗｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔａｃｌａｓｓｏｆｓｍｏｏｔｈｉｎｇＮｅｗｔｏｎｍｅｔｈｏｄｓａｎｄｐｒｏｖｅｉｔｓｇｌｏｂａｌｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ，ｗｈｉｌｅｄｉｓｃｕｓｓｉｎｇｔｈｅｎｏｎｓｉｎｇｕｌａｒｉｔ

4、ｙｏｆＪａｃｏｂｉａｎｍａｔｒｉｘｏｆｔｈｅｅｑｕａｔｉｏｎｏｐｅｒａｔｏｒ．ＡｎｉｌｌｕｓｔｒａｔｉｖｅｅｘａｍｐｌｅｉｓｇｉｖｅｎｔｏｓｈｏｗｔｈｅｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅｏｆｔｈｅｓｍｏｏｔｈｉｎｇＮｅｗｔｏｎｍｅｔｈｏｄ．Keywords：ｎｏｎｌｉｎｅａｒｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔａｒｉｔｙｐｒｏｂｌｅｍ；ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔａｒｙｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｓｍｏｏｔｈｉｎｇＮｅｗｔｏｎｍｅｔｈｏｄ；ｎｏｎ-ｓｍｏｏｔｈ；ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅｎ非线性互补问题（ＮＣＰ）是指：求矢量ｘ∈Ｒ，到一个卓有成效的学科，并将其应用到了工程学、使其满足经济学、物理学等重要领域中。Ｔｘ≥0，Ｆ（ｘ）≥0

5、，ｘＦ（ｘ）=0（1）为求解非线性互补问题（1）和变分不等式问ｎｎ其中Ｆ：Ｒ→Ｒ是连续可微的。题，学者们提出了若干方法，如内点法，补函数法、［1-15］变分不等式和非线性互补问题（ＮＣＰ）起源非光滑牛顿法，光滑函数法等。在这些方法于20世纪60年代。到20世纪80年代变分不等中，大多都是应用互补函数将非线性互补问题转式和非线性互补问题在数学规划领域中已经发展化为方程问题来求解。Ｆｉｓｃｈｅｒ-Ｂｕｒｍｅｉｓｔｅｒ（ＦＢ）收稿日期：2016-01-21基金项目：国家自然科学基金（项目编号：11301348）作者简介：孙菊贺（1980-），女，辽宁沈阳人，副教授，主要研究方向：变分分析理

6、论与优化算法，Ｅ-ｍａｉｌ：ｊｕｈｅｓｕｎ@163.ｃｏｍ。第5期孙菊贺，等：求解非线性互补问题的一类光滑牛顿算法75函数作为互补函数的一种，被广泛且深入地应用定义效益函数ψ；Ｒｎ→Ｒ：ｕ+到非线性互补问题和锥约束变分不等式问题的求12ψ（ｕｘ）=‖Φ（ｕｘ）‖（6）解中。更多的关于有限维变分不等式和互补问题2的理论与方法可参考Ｆａｃｃｈｉｎｉｅｉ和Ｐａｎｇ的著应用光滑函数（4）可以将（1）转化成下面非［3］作。由于ＦＢ函数在原点是不可微的，我们只线性方程组问题：能求出其它点处的广义微分。因此，在没有严格Ａ（ｕ）æö互补条件时，很难证明ＦＢ函数的Ｃｌａｒｋｅ广义Ｊａ-Ａ（ｕ）çψ（ｕ

7、ｘ1，Ｆ（1ｘ））÷ｃｏｂｉ矩阵的非奇异性，这使学者研究光滑的Ｆｉｓ-Ｈ（ｚ）==ç÷=0（7）Φ（ｕｘ）ç÷［3，5，6］ｃｈｅｒＢｕｒｍｅｉｓｔｅｒ（ＦＢ）函数来求解互补问题。ç÷èψ（ｕｘｎ，Ｆ（ｎｘ））ø然而在上述文献中所引入的光滑方程组的形式为ｎ+1ｕ其中ｚ=（ｕ，ｘ）∈Ｒ，Ａ：Ｒ→Ｒ满足假设Ｈ（ｚ）=，而本文推广了上述形式，应用φ（ｕｘ）1.1。令Ａ（ｕ）（ｆｚ）=12=1Ａ（ｕ）2+Ψ（ｘ）（8）‖Ｈ（ｕ，ｘ）‖ｕ的光滑方程组为Ｈ（