教育论文非线性互补问题的一个广义模式搜索算法

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2、约束最优化问题，然后用广义模式搜索法来解决，并给出了此算法的收敛性。　　[关键词]广义模式搜索非线性互补无约束最优化收敛性　　　　一、引言　　　　经典的非线性互补问题NCP(F)的模型如下：　　求解x∈Rn，使得x≥0,F(x)≥0,＜x,F(x)＞=0（1.1）　　其中F∶Rn→Rn连续可微，＜•，•＞表示普通意义上的内积。　　假设问题（1.1）的解集S≠Φ，在F(﹒)是仿射函数的情况下，（1.1）就退化成了线性互补问题。　　　　二、原始非线性互补问题的转化　　　　众所周知，NCP(F)可以看作求下面这个隐式拉格朗日函数的最小值问题：

3、　　其中α＞1是一个参数，(﹒)+表示在Rn+上的正交投影。　　特别地，在Rn上，Mα(x)是非负的，假设在问题NCP(F)的解处Mα(x)取值为0。这样求解问题NCP(F)就可以转化为求解下面的无约束最优化问题：　　可见若F(﹒)连续可微，则Mα(x)也是连续可微的。这里假设F(﹒)连续可微。　　　　三、无约束最优化问题的广义模式搜索算法　　　　1.搜索步和Poll步　　在无约束最小化问题的模式搜索算法中的每一次迭代，都在一张网（下面所定义的Rn的一个离散集）上的有限个点处对目标函数进行估计，试图产生一个迭代点，使得该点的目标函数值比当前解处对应的目

4、标函数值更小。这个过程称为搜索步。如果在搜索步失败，就进行Poll步，如果在这个过程中也没有找到改进的网点，则xk称为一个网格局部最优值。网格大小和迭代的更新规则见表3.1。首先给出[5]中的一些定义，当前网格定义如下：　　其中Δk∈R+是网格大小的参数，nD是个有限数，表示矩阵D的列数，矩阵D的列看成Rn中的向量构成了Rn的一个正生成集。同时还要求D中的每个列向量都可以表示成一个可逆矩阵和一个整向量的乘积。Poll集以xk为中心，定义为Pk={xk+Δkd,d∈Dk}。（表示Dk的列选自D）是一个正生成矩阵。　　假设3.1对d∈Dk都有β

5、min≤‖d‖≤βmax。　　假设3.2若min{Mα（xk+Δkd）｜d∈Dk}＜Mα(xk)，则必存在一个网格点xk+1,xk+1≠xk，使得Mα(xk+1)＜Mα(kx)，k=0,1,2,Λ.　　算法3.1设x0∈Rn，给定Δ0＞0.　　a.计算Mα(xk)。　　b.通过一种探测移动算法决定一个迭代点x+k.　　c.计算ρk=Mα(xk)-Mα(x+k).　　d.若ρk＞0，则令xk+1；否则，令xk+1=xk.　　e.更新Dk和Δk.　　2.参数更新规则　　如果发现一

6、个改进的网点，即：Mα(xk+1)＜Mα(xk)，则令Δk+1=λkΔk，λk∈(1,+∞)；　　否则，即：若xk是网格局部最优值，则令Δk+1=θkΔk，θk∈(0,1).设,不依赖于.　　引理3.1对于k≥0，都存在一个rk∈Z，使得Δk=ιrkΔ0.　　如[4]中所述，下述定理显然成立。　　定理3.1由算法3.1产生的每一个迭代点XN都可以写成如下形式：　　其中x0∈Rn是初始值，，α和β是互质的自然数，ι如Δk的更新规则中定义,Δ0是步长控制参数的初始值,D如当前网中定义。Zk∈Zn,k=0,

7、Λ,N-1.　　　　四、收敛结果　　　　由算法3.1可以得到下面两个关于收敛结果的定理。　　定理4.1设Mα（x）是Rn上的连续可微函数，Mα（x）在Rn上利普希兹连续，常数为L,水平集LMα(x)(x0)是紧集。则GPS算法3.1产生的迭代满足　　这个定理表明算法3.1产生的迭代序列至少有一个聚点是问题（1.1）的稳定点。如果把条件加强就会得到下面定理4.2中更强的收敛结果。　　假设4.1:1.对于每一个网点　　定理4.2假设上面三个条件成立，Mα(x)是Rn上的连续可微函数，Mα（x）在Rn上利普希兹连续，常数为L,