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时间:2018-07-06
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2、约束最优化问题,然后用广义模式搜索法来解决,并给出了此算法的收敛性。 [关键词]广义模式搜索非线性互补无约束最优化收敛性 一、引言 经典的非线性互补问题NCP(F)的模型如下: 求解x∈Rn,使得x≥0,F(x)≥0,<x,F(x)>=0(1.1) 其中F∶Rn→Rn连续可微,<•,•>表示普通意义上的内积。 假设问题(1.1)的解集S≠Φ,在F(﹒)是仿射函数的情况下,(1.1)就退化成了线性互补问题。 二、原始非线性互补问题的转化 众所周知,NCP(F)可以看作求下面这个隐式拉格朗日函数的最小值问题:
3、 其中α>1是一个参数,(﹒)+表示在Rn+上的正交投影。 特别地,在Rn上,Mα(x)是非负的,假设在问题NCP(F)的解处Mα(x)取值为0。这样求解问题NCP(F)就可以转化为求解下面的无约束最优化问题: 可见若F(﹒)连续可微,则Mα(x)也是连续可微的。这里假设F(﹒)连续可微。 三、无约束最优化问题的广义模式搜索算法 1.搜索步和Poll步 在无约束最小化问题的模式搜索算法中的每一次迭代,都在一张网(下面所定义的Rn的一个离散集)上的有限个点处对目标函数进行估计,试图产生一个迭代点,使得该点的目标函数值比当前解处对应的目
4、标函数值更小。这个过程称为搜索步。如果在搜索步失败,就进行Poll步,如果在这个过程中也没有找到改进的网点,则xk称为一个网格局部最优值。网格大小和迭代的更新规则见表3.1。首先给出[5]中的一些定义,当前网格定义如下: 其中Δk∈R+是网格大小的参数,nD是个有限数,表示矩阵D的列数,矩阵D的列看成Rn中的向量构成了Rn的一个正生成集。同时还要求D中的每个列向量都可以表示成一个可逆矩阵和一个整向量的乘积。Poll集以xk为中心,定义为Pk={xk+Δkd,d∈Dk}。(表示Dk的列选自D)是一个正生成矩阵。 假设3.1对d∈Dk都有β
5、min≤‖d‖≤βmax。 假设3.2若min{Mα(xk+Δkd)|d∈Dk}<Mα(xk),则必存在一个网格点xk+1,xk+1≠xk,使得Mα(xk+1)<Mα(kx),k=0,1,2,Λ. 算法3.1设x0∈Rn,给定Δ0>0. a.计算Mα(xk)。 b.通过一种探测移动算法决定一个迭代点x+k. c.计算ρk=Mα(xk)-Mα(x+k). d.若ρk>0,则令xk+1;否则,令xk+1=xk. e.更新Dk和Δk. 2.参数更新规则 如果发现一
6、个改进的网点,即:Mα(xk+1)<Mα(xk),则令Δk+1=λkΔk,λk∈(1,+∞); 否则,即:若xk是网格局部最优值,则令Δk+1=θkΔk,θk∈(0,1).设,不依赖于. 引理3.1对于k≥0,都存在一个rk∈Z,使得Δk=ιrkΔ0. 如[4]中所述,下述定理显然成立。 定理3.1由算法3.1产生的每一个迭代点XN都可以写成如下形式: 其中x0∈Rn是初始值,,α和β是互质的自然数,ι如Δk的更新规则中定义,Δ0是步长控制参数的初始值,D如当前网中定义。Zk∈Zn,k=0,
7、Λ,N-1. 四、收敛结果 由算法3.1可以得到下面两个关于收敛结果的定理。 定理4.1设Mα(x)是Rn上的连续可微函数,Mα(x)在Rn上利普希兹连续,常数为L,水平集LMα(x)(x0)是紧集。则GPS算法3.1产生的迭代满足 这个定理表明算法3.1产生的迭代序列至少有一个聚点是问题(1.1)的稳定点。如果把条件加强就会得到下面定理4.2中更强的收敛结果。 假设4.1:1.对于每一个网点 定理4.2假设上面三个条件成立,Mα(x)是Rn上的连续可微函数,Mα(x)在Rn上利普希兹连续,常数为L,
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