非线性互补约束规划问题的一个新的qp-free算法

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1、数学杂志Vo1．35(2015)J．ofMath．(PRC)NO．2非线性互补约束规划问题的一个新的QP．free算法陈风华，李双安(1．河南理工大学万方科技学院，河南郑州450026)(2．桂林电子科技大学数学与计算科学学院，广西桂林541004)摘要：本文研究了非线性互补约束均衡问题．利用互补函数以及光滑近似法，把非线性互补约束均衡问题转化为一个光滑非线性规划问题，得到了超线性收敛速度，数值实验结果表明本文提出的算法是可行的．关键词：均衡问题；非线性互补；QP—free算法；全局收敛性；超线性收敛性MR(2010)主题分类号：90C30

2、；65K05中图分类号：O221．2文献标识码：A文章编号：0255—7797(2015)02—0429—141引言本文考虑如下非线性互补约束均衡问题(MPEC)s．t_．(，’Y)j>0，wj=Fj(X，)，0W上jIY0，(1．)其中．厂：R+。R，gj：R叶。__÷R，J=1，⋯，ml，：Rn+。--÷R，J=1，⋯，m2，二阶连续可微，w上Y表示向量W与Y垂直．该问题在经济模型，工程设计等领域有着广泛的应用，近年来关于该类问题的研究及应用见文献[1—3】．显然，若将互补约束条件W上Y视为WY=0，则均衡问题(MPEC)(1．1)等价

3、于一个光滑非线性规划问题．然而，文献[4]指出：即使没有约束g(x，Y)0，且函数F(，Y)具有很好的性质，对于该光滑非线性规划问题，较弱的MFCQ条件在任意可行点处都不满足，故非线性规划一些经典的算法一般不能直接应用到均衡问题上来．关于均衡问题的研究，文献f5—7]利用带扰动参数的互补函数，通过求解一系列光滑扰动问题来成功逼近原均衡问题的解．在渐近弱退化条件下，这类扰动问题所产生序列的聚点称为原问题的稳定点．本文通过构造新的互补函数，利用逐次逼近思想，为问题(1．1)提出新的光滑化技巧．易知Y0，W0，yTW=0甘min{yj，wj)=0

4、，J=1，⋯，m2．(1．2)如文献[2]，定义函数(，wj，"It)=-Uln(e一+e-)，J=1，⋯，mz，有lim(，wj，u)=li[一uln(e一+e-)】=min{yj，j)=0，J=1，⋯，m2．(1．3)收稿日期：2014—04．29接收日期：2014—07．31基金项目：国家自然科学基金(11061011；11361018)；广西杰出青年基金(2012GXSFFA060003)；河南省教育厅科学技术研究重点项目(12Bl10011)．作者简介：陈风华(1982)，女，湖北仙桃，讲师，主要研究方向：优化理论与算法研究．数学

5、杂志由式(1．3)，很自然定义lim(，wj，)：(，Wj，0)，J=1，⋯，m2．(1。．4)由的定义，有=(。，c9~(yl,wl,u)，⋯，，，．一，’Ow)／T．‘(1．5)借助于互补函数，下面我们提出如下非线性规划(Ⅳ)minf(x，)，s．t．gj(x，y)0，J=1，⋯，m1，(1．6)cj(x，y，W)：0，J=1，⋯，?Tt2，(，wj，)：0，J=1，⋯，m2其中ej(x，Y，)：Wj一(，)，J=1，⋯，m2．当，“0，由式(1·2)及(1．3)，易知问题(NLPu)(1．6)是问题(MPEC)(1．1)的光滑近似．本

6、文通过一个光滑函数(，，)=一uln(e一导+e一)∈R，题(MPEC)(1．1)转化为一带参数的一般优化问题，基于文献Is]的思想，提出了一个新的光滑QP—free算法．该算法具有如下优点：(i)罚参数更新比文献[10]简单；(ii)在不要求Hessian阵估计正定的假设条件下，算法仍具有超线性收敛性．2算法的描述令x，Y，)，P(，)，q=(，训)，L1=<1，⋯，"1)，2=(1，⋯，玎2记为问题(1．6)的可行集，即：={：)0，J∈L1，cJ()：0，J∈L2，≯(，)=0，J∈L21．类似文献Is]，将问题(Ⅳ)(1．6)转化为

7、序列不等式约束优化问题(NLPp)：min(，Y，)，s．t．g3(x，Y)0，J∈L1，(2．1)(，Y，W)0，J∈L2，≯(，wj，u)0，J∈L2NO．2堕垦笠!i垡丝戛!枣规划问题的一个新的QP—free算法431其中P=(Pl，p2)(，Y，叫)=，)+P∑cj(x,Y，叫)+p。∑(协，伽j，u)jEL2jEL2c(，Y，W)=Wj一乃(，)，J∈L2．研究问题(NLPp)(2．1)易知，P惩罚满足勺(，Y，)>0，J∈L2，(，wj,钆)>0，J∈L2的迭代，而问题(NLPp)(2．1)的可行性能保证cj(x，Y，伽)0，J

8、∈L2，(，Wj，u)0，J∈2．故P充分大，能保证问题(Ⅳ)(1．6)的可行性．事实上，当采用精确罚函数时，无需P趋向无穷，就能收敛到问题(NLP~)(1．6)的一解．记：={