求解变分不等式组的新的自适应投影算法

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1、求解变分不等式组的新的自适应投影算法1.1背景介绍变分不等式是非线性方程和非线性互补问题等一系列问题的推广,它在最优化、网络经济、自动控制、信号与图像处理、滤波设计、经济科学、游戏理论,工程力学,系统识别和数学规划等领域有广泛的应用[15-18].在应用数学中,变分不等式问题是一个相当重要的研究课题,它不仅在非线性最优化方面具有相当广泛的应用,而且在力学、控制论、微分方程、工程学、经济均衡理论、对策论、社会和经济模型等方面都有着很好的应用价值.尤其是物理、数学和工程领域的很多问题都可以转化为变分不等式问题来

2、解决.它的提出使优化问题和均衡问题的研究得到了统一,并且在数学领域中作为大量数学问题实际求解的统一模型.变分不等式的广泛应用,对工程优化,经济学和交通运输的均衡问题以及数学各个领域,计算机科学等方面都作出了重大贡献.因变分不等式问题和各个领域的紧密联系,使得大量的数学工和经济学家对变分不等式问题的许多理论、方法、思想和技巧作孜孜不倦的研究.近年来,关于变分不等式(VIP)的研究,在算法和理论两个方面都有很多的成果,其中算法多是借助于计算机的MATLAB软件,使用各种技术和数值计算思想建立各种类型的具体的求解

3、方法;而理论方面研究的则是对变分不等式的变形和推广,例如将变分不等式推广和改进为变分不等式组、拟变分不等式、单值、集值变分不等式、似变分不等式、隐变分不等式、拟-似变分不等式、向量变分不等式、随机变分不等式和其他各种类型的广义(或广义混合)变分不等式.投影算法是解决变分不等式问题的一种重要工具.经典的变分不等式问题,由Stampacchia在1964年给出并进行了研究;同年Goldstein[5]也对变分不等式问题开始进行研究;1966年Levitin-Polyak[10]对变分不等式问题进行进一步的研究;

4、1966年Armijo[1]对求解非线性规划问题产生的步长准则作了研究;1970年Marti[11]提出邻近点算法;1976年Rockafellar[14]给出了非精确邻近点算法;1976年Korpelevich[8]在映射是广义单调的情况下提出外梯度投影算法;1976年Bertsekas[2]对求解非线性规划问题产生的步长准则再次作了深入探究;1987年Khobotov[9]提出了一个有用的策略,设计了一个合适的步长,对Korpelevich[8]外梯度投影算法作了进一步的完善;1991年Güller[6

5、]给出了Rockafellar算法中部分步骤在无限维Hilbert空间中非强收敛的一个例子;1993年Dupuis和Nagurney[3]对Goldstein[5]和Levitin-Polyak[10]的投影算法进行改进,使用了一个预先决定的步长序列;1996年Nagurney和Zhang提出Nagurney-Zhang[13]投影算法;1998年Eckstein[4]指出精确求解邻近点算法中的迭代点十分困难,对此作了进一步的研究和改进;2002年He[7]改进Goldstein-Levitin-Polya

6、k投影算法求解强单调变分不等式;在文献[26]中,王等提出了一种求解变分不等式的外梯度算法,并在此基础上给出了变分不等式解的存在性判定方法.近年来,变分不等式理论已经成为研究线性和非线性问题的有力工具.一般变分不等式[21]是经典变分不等式的一种重要推广,在科学领域中应用广泛[22,23],受到人们越来越多的关注.而变分不等式组问题是经典变分不等式问题的推广,2001年,Vema[27]引入并讨论了非线性变分不等式组问题,在算子T是强单调及Lipschitzian连续的条件下,给出了一个基于投影技巧的隐式迭

7、代算法.广义集值混合变分不等式也是经典的变分不等式的一个重要推广,2003年在文献[25]中首次引入并讨论了它.在变分不等式问题的研究中,最重要也是最困难的是提出一种可行并且有效的迭代算法.对变分不等式的研究很多的学者利用许多方法和不同的技巧（如分解方法、辅助原理、arcotte[12]应用到交通分配问题中,显然,这种步长对算法的有效性产生了极大的影响.但是,假如步长几乎等于0时,计算机可能直接记为0,为了避免这种情况,有必要在步骤3中扩大步长来代替使用一个非增长步长序列.对Khobotov算法,He[7]

8、对步骤3作出了如下的改进:1.3本文主要内容概述本文是如下组织的:第一章,介绍变分不等式的背景及求解变分不等式的算法的国内外研究动向;第二章,我们首先提出要求解的问题,其次介绍一些学者已经研究过的与求解变分不等式组相关的性质和引理,以及在后面章节中需要用到的命题或推论;第三章,我们提出了求解变分不等式组的两种算法;第四章,我们证明了所提出的两种算法的收敛性;第五章,我们讨论了所提出的两种算法的可行性,并给出了算法