变分不等式的一种自适应算法-论文.pdf

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1、第32卷第3期中国民航大学学报V0l-32No．32014年6月JoURNALOFCIVILAVIATIoNUNIVERSITYOFCHINAJune2014变分不等式的一种自适应算法何松年，罗标(中国民航大学理学院，天津300300)摘要：提出求解定义在实Hilbert空间闭凸集上Lipschitz强单调变分不等式唯一解的一种自适应算法，即以一种自适应的方式在每一步迭代计算时确定计算格式中的迭代步长，无需计算或估计其中非线性算子的Lips．chitz常数和强单调系数，从而使得该算法更容易实现。证明了算法的强收敛性。关键词：自适应算法；变分不等式；强收敛；Hilbert空间中图分类号：

2、0178文献标志码：A文章编号：1674—5590(2014)03—0059—03Self-adaptivealgorithmforvariationalinequalitiesHESong-nian，LUOBiao(CollegeofScience，CAUC，Tianjin300300，China)Abstract：Aself—adaptivealgorithmisproposedtosolvetheLipschitzandstronglymonotonevariationalinequalitydefinedonaclosedconvexsubsetinarealHilbertsp

3、ace．Sincethismethodselectsstepsizesviaaself——adaptiveway，i．e．，hasnoneedtoestimatetheLipschitzconstantandstrongmonotonecoefficient，itsimplementationisrathereasy．Strongconvergenceofthealgorithmisproved．Keywords：self-adaptivealgorithm；variationalinequality；strongconvergence；Hilbertspace设是一实Hilbert空

4、间，其内积与范数分别表L-Lipschitz连续和叼一强单调算子，即存在常数￡，叼>示为<·，·>和ll·ll，Cc日非空闭凸，Fc_日是一非0，分别满足线性算子，变分不等式问题即寻求一点∈C，满足ll一ll≤ll—YllV，Y∈C(3)≥0，V∈C(1)≥叼lf—YlIVx，Y∈C(4)变分不等式常用，(c，F)表示，最初是由Stam—不难证明有如下结论：pacchiat1于1964年引进和研究的。最近几年，变分不引理2假设，满足条件(3)和(4)，常数A和等式问题被广泛应用于研究结构分析、经济学、优化满足A∈(0，1)，∈(0，)。令T-=(，一)

5、(或理论以及运筹学等_1．61。运用投影技巧，很容易证明VI(C，F)与不动点问题等价㈣。，一F)和=Pc(，一F)(或，一／zF)。则和引理1$∈C是变分不等式，(c，F)的解当且均为压缩映射，压缩常数分别为1一丁和1一A7-，其中仅当∈C满足丁=(2n一)。=Pc(，一AF)x*(2)厶其中：A>0是任意常数；Pc是c上的正交投影；，是日由压缩映像原理以及引理1，容易证明如下众所上的恒等算子。周知的结果。称算子Fc一日是单调的，如果定理1设F满足条件(3)和(4)，则变分不等式≥0，V，Y∈C，若更有仅当=Y时，等号成立，则称"(c，F)有唯一解。当0

6、迭代格式为F严格单调。很容易证明当F严格单调时，，(c，F)L(1)至多有一个解。Xn“=Pc(，一AF)x，n≥0(5)对于变分不等式问题(1)，常常假设F是c上的产生的序列}强收敛于变分不等式的唯一解。然而，收稿日期：2013—04一l1；修回日期：2013—07—15基金项目：中央高校基本科研业务费专项(3122013k004)作者简介何松年(1963一)，男，山西太原人，教授，博士，研究方向为非线性问题计算方法．一6O一中国民航大学学报2014年6月算法(5)有一个明显的弱点：步长的选择依赖于常数首先分析迭代算法的合理性。由F的强单调性，叼的确定。这意味着，为了实现算法(5)，

7、首先必须计知，当Xl≠‰时，Fx。#Fx。，故通过式(10)的第一个式子算(或估计)常数，钾，而这一问题有时非常困难。为了可以计算出，于是由式(to)归纳算出数列1并进克服上述缺点，提出一种自适应算法来解变分不等式而可产生序列}。其次，对的大小进行估计。如，(c，F)，其中，C是上一闭凸子集，Fc—是一果≠l，且口Fx≠Fx1，令Lipschitz连续和一强单调算子。以下将列出两个有用们一二r上!!二!的引理，最后提出自适应算法，并证明此算法在