广义非凸变分不等式解的存在性和多步迭代投影算法-论文.pdf

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1、第40卷第6期西南师范大学学报(自然科学版)2015年6月Vo1．40NO．6JournalofSouthwestChinaNormalUniversity(NaturalScienceEdition)Jun．2015DOI：10．13718／j．cnki．xsxb．2015．06．003广义非凸变分不等式解的存在性和多步迭代投影算法①令狐云龙重庆广播电视大学经贸学院财经系，重庆40216O摘要：在Hilbert空间中引入广义非凸变分不等式问题，利用变分不等式和不动点问题的等价关系，给出了求解变分不等式的多步迭代投影算法．在适当的条

2、件下证明了该算法的收敛性．关键词：广义非凸变分不等式；松弛(y，r)-余强制映象；投影算法中图分类号：O177．91文献标志码：A文章编号：1000—5471(2015)6—0010—05设H是一个实Hilbert空间，<·，·>和ll·l1分别表示H上的内积和范数，丁：H—H是一个非线性映象．定义1设甜为Hilbert空间H中的一点，称N嚣(“)一{EH：UEPKEu+])a>0为K在M的近似正规锥，其中P[¨]一{EK：dx(“)一liz‘一“lI}dK(M)一infII—Il∈K定义2设K为H的一个非空子集，对给定的常数r∈(

3、O，Cx。]，如果K的每一个非零近似正规锥N()都可以表示为一个r一球，即对任意“∈K和0≠EN()，满足(，一)≤1一“lIVEK则称K为一致r一近似正规集．定义3映象T被称为：(i)／rLipschitz连续的，如果存在常数>0，使得II—}I≤llX一llV，YEH(ii)r一强单调的，如果存在常数r>0，使得(：Ix—ry，—>≥rlI5C—Y}lVz，Y∈H(iii)a一强制的，如果存在常数>0，使得(—ry，z—>≥all—TyllVz，YEH(iv)松弛(y，r)一余强制的，如果存在常数y>0，r>0，使得(—Ty，L

4、z—>≥一yl1—l1+r1Iz—YI1Vz，Y∈H变分不等式理论在现代非线性分析中具有重要的作用，被广泛应用于经济决策、动力系统、优化理论①收稿日期：2014—08—25基金项目：国家自然科学基金项目(11226228)．作者简介：令狐云龙(1963一)，男，重庆大足人，副教授，主要从事非线性泛函分析的研究第6期令狐云龙：广义非凸变分不等式解的存在性和多步迭代投影算法11和算子理论等领域．近年来，变分不等式问题已经被许多作者深入研究，出现了多种形式的变分不等式及其推广形式，并获得了一系列很好的结果卜引．因此，讨论各种变分不等式问题

5、解的存在性和其解法有着重要的理论意义和实用价值．2012年，文献[5]研究了广义非凸变分不等式问题：设K为Hilbert空间H的一非凸子集，T：K一K，g：H—K均为松弛余强制映象，求EK，使得≥0VEH，g()EK，，lD>0(1)并且定义了一个求解(1)式的三步投影算法：对给定的。EK，和常数l0>0，由下式计算{“)：f一(1一y)“+PKEg(u)一pTu]J一(1一)“+PEg(v)一pT](2)lM1一(1一a)乱+aPK1-g(~o)一pTco]其中，，E(O，1)．最后将投影算法推广

6、到广义非凸变分不等式问题，将算子T的限制条件减弱到松弛余强制，证明了由(2)式定义的迭代序列的收敛性．设K为Hilbert空间H的一非凸子集，T：K，一K，为松弛()，，r)一余强制映象且一Lipschitz连续，A：H—K为松弛(，r2)一余强制映象且。一Lipschitz连续，求EK，使得≥0VEH，A()EK，，p>0(3)本文定义了一个求解(3)式的多步投影算法：对给定的zEK，和常数l0>0，由下式计算{}：z计一(1一)+PFy1一p(ry~+A())]一(1一)lz+P[：一p(ry~

7、+A(：))]；(4)===(1一)z+～PKi-y7～一ID(+A(y'2))]，一(1一)lz+P[z一p(Tx+A(z))]其中{}[0，1]，m≥2，i一1，2，⋯，m且P表示H在非凸集K上的投影．本文在算子T和A具有松弛余强制等条件下证明了相应迭代序列的收敛性．注1在(3)式中，令g一卜一，则变分不等式(3)式的解即为(1)式的解．在(4)式中，令g一卜一，m一3，则(4)式定义的迭代序列等价于(2)式．引理1E。设{n)，{b}，{)为3个非负数序列，如果EE0，1]且满足不等式an+1≤(1一)n+b≥0其中∑—一。。

8、，b一o(2)，则liran一0．—0。。n=引理2zEK，为广义非凸变分不等式(3)的解的充分必要条件是z一P[z一lD(+A())]其中P为H在一致近似正规集K，上的投影．证设z∈K为问题(3)的解，P一(卜卜pN品)．则0EP(