数学：《利用数列的函数特点解决数列问题》教案

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1、利用数列的函数特点解决数列问题我们知道，数列是特殊的函数，它是定义在正整数集（或其有限子集）上的特殊函数，从而数列也具有函数的一般特点．因此，巧妙的利用数列的函数特点（比如解析式特点，图像特点，单调性特点），解决数列问题，将会得到奇妙的效果．一．巧妙利用数列的通项公式与求和公式的函数特点．由等差数列和等比数列的的通项公式及求和公式函数的特点，我们可抽象出等差数列的通项公式为，求和公式为，等比数列的通项公式为，求和公式为（各公式间的,独立）．这样的函数关系式比较简单，针对有关问题，解题更为方便．例1．是等比数列的前项和

2、，，，成等差数列，求证：，，成等差数列．解：若等比数列的公比，则，，，由于，，成等差数列，则,从而得到，这不符合等比数列特点。所以．设，由已知得，，则，，，（舍去）或，，．，，，成等差数列．例2．设等差数列的前项和为,且与的等差中项为1,而是与的等比中项,试求数列的通项公式。解：设,则根据题义得，解得或所以或当时,可求得,当时,可求得。例3．已知等差数列前项和为．(1)若求；(2)若,求．解：(1)设.由题义可得两式相减,整理得．由于则，从而．(2)设.则，例4．等差数列前项和为,求证：(1)；(2)成等差数列．提示

3、：以下各题均可以用上述方法，非常方便地解决．二．巧妙利用数列的图像特点．由于数列的图像是相应函数图像上离散的点，因此，利用数列的图像也可以解决数列的有关问题．例5．已知数列的通项公式为，求数列中的最大项与最小项．解：，数列的图像是函数图像上离散的点（），将双曲线向右平移个单位，再向上平移个单位，就可以得到函数的函数图像．由此数列的图像特点，可以知道，，．三．巧妙利用数列的单调性特点．通过数列单调性特点，我们可以求数列的最值，从而解决一批数列中恒成立问题．例6．已知数列的通项公式为，是否存在正数，使对一切均成立，若存在

4、，求出的最大值；若不存在，请说明理由．　解：题中不等式即为．令．根据题意可知，只需．如何探求的最小值，不难想到数列的单调性．因此，，所以数列是递增函数．．故，满足条件的正数存在，其最大值为．趣味与研究：乒乓球跳动的次数与时间问题：一个乒乓球从10m高度落到地面，如果与地面碰撞后，每次弹出的高度是前一次高度的一半，那么乒乓球将要弹跳无穷多次才会停下，这样乒乓球还会停得下来吗？事实上，乒乓球并非没完没了地弹跳，不久就会停止跳动，那是为什么呢？下面我们用数学知识来解释个怪异现象。取重力加速度，由，得到乒乓球第一次与地面碰撞

5、所需的时间为；第一次弹出并落下所需的时间为；第二次弹出并落下所需的时间为；第三次弹出并落下所需的时间为；…………………………………………由此可见，成等比数列，公比为。因此，到第弹起又落下共需的时间为，由于乒乓球要弹跳无穷多次，则当时，，所以，。由此可知，乒乓球在后停止了跳动，也就是说，在这有限的时间里跳动了无穷多次。