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1、运用函数属性f解决数列问题•中学数学论文运用函数属性，解决数列问题马俊华(无锡市第一中学，江苏无锡214031)摘要:数列是高中数学的重要内容之一，它的本质是离散的函数。高考中经常涉及到数列的基本运算，与数列有关的最值问题和不等式问题，从数列的本质岀发,结合数列的函数属性,可以找到比较本源的简单解法。关键词:数学本质；函数性质；高考数列问题中图分类号:G633文献标识码：A文章编号:1005-6351(2013)-11-0056-02用数列的函数属性硏究等差数列和等比数列数列作为函数，在等差数列和等比数列这两类特殊
2、数列的通项公式an及前n项和公式的结构中有充分的体现和反映。在等差数列｛an｝中,当公差dHO时，它的通项公式an=al+(n・l)d=dn+(al・d)本质上是关于的n—次函数，其前n项和Sn=nal+n(n-I)2d=d2n2+(al・d2)n是关于的n二次函数且不含常数项;当公差d二0时，an=al是常数函数，Sn=nal则是正比例函数或常数函数。在等比数列｛an冲，当公比q0且q"时，该等比数列的通项公式an=alqn・1及其前n项和Sn=all-q-all-qqn本质上都是指数函数和一次函数的复合。例1:
3、在等差数列｛an｝中,已知ap=q,aq=p(p"),求ap+q的值解法一：设an=An+B,则ap二Ap+B二q,aq二Aq+B二p,两式相减，得A二・1,所以B二p+q,因此ap+q二・l・(p+q)+(p+q)二0。解法二:考虑到等差数列｛an｝的通项公式是一次函数的图像特点z应有(p,ap),(q,aq),(p+q,ap+q)三点共线,所以ap・aqp・q二ap+q・aq(p+q)・q,艮卩q-pp・q二ap+q・ppz嗚军彳寻ap+q二0.二用数列的函数属性硏究数列的最值问题数列的最值问题在高考中屡见不鲜
4、，除了等差和等比数列的基本题型外，不断涌现其它类型的数列最值问题，认清数列的函数属性，借助处理函数最值的思想方法，往往可以使这类问题迎刃而解。例2:设等差数列｛an｝前n项和Sn,已知a3=12,S120,S130.(1)求公差d的取值范围；(2)指出S1ZS2，…,S12中哪一个最大,并说明理由。解：⑴由S12=12(12-2d)+66d0,S13=13(12・2d)+78dOz解得-247d・3;(2)方法一:由an二(12-2d)+(n-l)d0得n3・12d,而函数f(d)=3・12d在区间［・247z・3
5、］上单调递增，f(d)的最小值为f(・247)=132，因此使得anO的n只可能是12345,6,所以S6最大。方法二：Sn=n(12・2d)+n(n・I)2d=d2n2+(12・52d)n，设函数f(x)二d2x2+(12・52d)x,由・247d・3知该抛物线开口向下,对称轴x二52・12dw(665),而Sn是当xGN制分布在函数y二f(x)图像上离散的点，因此S6最大。方法三：由S13=13a70知a70,XS12=6(al+al2)=6(a6+a7)0,所以a60,又・247d-3,所以ala2...a6
6、0a7a8...,因此S6最大。三、用数列的函数属性硏究与数列有关的不等式问题数列与不等式的综合问题是历年高考中的热点问题,难点问题z不等式的综合运用和推理证明对学生分析问题、解决问题提出了较高的要求，而作为数列的本质属性,函数的思想方法在处理这类与数列有关的不等式问题时有很好的应用。例3:已知a为整实数zn为自然数，抛物线y=・x2+an2与x轴正半轴交于点A,设f(n)为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距。(1)用a和n表示f(n);(2)求对所有n都有f(n)・If(n)+l>n3n3+1^6i£的a的最小
7、值;(3)当Oal时,比较刃k二llf(k)-f(2k)与274*f(l)-f(n)f(O)-f⑴的大小,并说明理由。解：(1)A(an2,0)，对y=・x2+an2求导得y=2x,抛物线在A处的切线方程为y二・2an(x-an2)，即y=・2anx+an,所以f(n)=an;(2)由(1)知f(n)=an,则f(n)-If(n)+l>n3n3+l成立的充要条件是an>2n3+lan>2n3+l对所有neN成立，特别地，取n二2得到a>17•当a=17z若n二0,1,2时,(17)n>2n3+l显然成立,法一:当a
8、=17,n>3时,设函数f(x)=(17)x-2x3-1,xe［3,+8),由f(x)=(17)x(lnl7)3-12>(17)3-120知f=(17)x(lnl7)2・12x在［3,+8)单调递增，从而f=(17)x(lnl7)2-12x>(17)3-360,因此f=(l7)xlnl7-6x2在［玄+8)单调递增，从而f=(17)xlnl7・6x2>(17
