运用数学思想解决数列问题

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1、运用数学思想解决数列问题数列是高中数学的重要内容，它与数、式、函数、方程、不等式有着密切的联系，是每年高考的必考内容。同时数列综合问题中蕴含着许多数学思想与方法（如函数思想、方程思想、分类讨论、化归与转化思想、归纳猜想等）。在处理数列综合问题时，若能灵活运用这些数学思想与方法，则会取得事半功倍的效果。一、函数思想数列是一种特殊的函数，数列的通项公式和前n项和公式都町以看成n的函数，也可以看成是方程或方程组，特别是等差数列的通项公式可以看成是n的一次函数，而其求和公式可以看成是常数项为零的二次函数，因此许多数列问题可以用函

2、数方程的思想进行分析，加以解决。例1.已知数列仏｝是等差数列，若=10,52„=50,求S3,,。解:nnax+—_l)dn为等差数列，其通项为一次502n函数，设/（x）=dx+b,则点（n注,（2弘生），在其图象上，:.an+b=—,n2nn15f5—.b=——nn故===—-3--,解之得：S3”=120。n3/1nn评注：泡是关于n的一次函数，其图彖是直线上的离散点。本题是利用待定系数法建n立一次函数來求解S3〃。例2.设等差数列｛%｝的而n项和为S“，已知如=12,512>0,513<0o（1）求公差d的取值范

3、伟I；（2）指出/、S?、S3……Sd中哪一个值最人，并说明理由。分析：对于（1）,可考虑由512>0,513<0建立关于d的不等式组，对于（2）由S”是n的二次函数加以考虑，转化为求二次函数的最值问题。解：（1）由色=%+2d=12知％=12—2d,S12=12^+66d=12(12—2d)+66d=144+42d〉0S13=13®+78d=13(12-2d)+78d=156+52dv024f°;

4、的对称轴方程为…巧-丁24512•/-—<6/<-3,<6.5,故当整数n=6时，S”最人，即S&最人。72d评注：对于等差数列來说，S“是n的二次函数，且常数项为零，可写为S”=an2+bn的形式，其图象必过原点，对于此题来说，由于512>0,513<0,故图象与x轴的另一交点横坐标心，满足12

5、,n,d（q）,an，兀，“知三求二”是一类最基本

6、的运算。因此方程的观点是解决此类问题的基本数学思想与方法。例3、设｛色｝是正数组成的数列，其前川项和为片，并且对于所有的H然数〃，暫与2的等差中项等于为与2的等比中项，求｛色｝的通项公式。由题意可知乞二=応整理得:2n22)+«1=22)+解得同=2。又°曲=$胡一片.•.Q曲=*（°沖+2）2-£（%+2）2,整理得：（Q“+i+Q“）（d“+】一£一4）=0,又・・•％>0,.•・％］-色=4,即血｝是首项为2,公差为4的等差数列，・：an=4n-2o点评：木例利用了方程的消元思想由％+严昭-为、％=-（^+2）2消

7、去为得到了8（勺+1+色）（色+1-曾-4）=0这一方程找到了数列中相邻两项的递推关系，使问题得到了解决。值得注意的是有的时候可借助d卄严陥厂匚消去色利用S曲罔递推关系解题。例4、已知等差数列｛色｝的公差是正数，并且。3吗=一12<4+%=一4,求前n项的和解：ill等差数列｛。“｝知：=a4+a6f从而=-12,tz3+6/7=-4,故备均是方程兀2+4兀—12=0的两根，又d>0,解之，得：色=一6卫7=2。再解方程组：(ax+2d=-6p?]=-10[a.+6d=2.d=2,厂厂1I,所以sfl=-10/?+/2

8、(H-l)o点评：本题利用了色+6=%+%这一性质构造了二次方程巧妙的解出了色=—6,6=2,再利用方程求得了首项与公差的值，从而使问题得到解决，山此可知在数列解题吋往往可借助方程的思想与an+am=ap+aq(或％-am=apaq)找出解题的捷径。。三、分类讨论思想所谓分类讨论，就是当问题所给出的对彖不能进行统一研究时，我们就需耍对所研究的对象分门别类的进行研究，最后综合各类的结果得到问题的解决。例5、已知等差数列｛an｝的前n项的和s*=3+2“，求％。解：(1)当兀=1时，q=6=5；(2)当n>2时，an=sfl

9、-sn_｛=2"-2n~l=2n_1；[5,n=l综合(1)(2)可知曾詔.o点评：此例从分的体现了讣sn的关系中隐含了分类讨论思想。例6.已知｛色｝是公比为q的等比数列,且％卫3卫2成等差数列.(I)求q的值；(II)设｛乞｝是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为弗当n22时，比较Sn与bn的大小，并说明理