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1、用函数的思想解决数列问题数列是刻R离散现象的数学模型，本质上数列是定义域为正整数集N'（或它的有限子集）的函数，数列的通项公式则是相应的函数解析式.可见，任何数列问题都蕴含着函数的木质，从而可以用函数思想解决数列问题。将现在学习的新知识数列与先前的闲数结合在一起进行探宂,它不仅能够使学生深入Y解以前学习的函数，利用函数思想去解决数列问题，还能使解数列的问题更有新意和综合性，从一定程度上简便问题的解法，能有效地培养学生的灵活应用和创新意识。因此我们在解决数列问题时，应充分利用函数的有关知识，灵活应用函数的
2、概念、阁象、性质，架起函数与数列之间的桥梁，从而有效地解决数列问题。一、函数性质结合法通过对数列中的通项公式及前n项和公式等这些特殊的函数关系的推导,清楚了&、和n的对应关系，然后利用概念，寻找出数列通项公式、求和公式与函数的联系，这样能够培养学生对数学整体意识，用联系发展的眼光来学习数学，在解题时也能够进一步提高效率，增强灵活度。现归纳出了数列通项公式、求和公式与函数对应关系如下：数列通项公式对应函数等差数列y=ax+b（€Z矣0时为一次函数）等比数列A11y=M（指数型蚋数）数列前n项和公式对应函
3、数等差数列8籯=Mh———d=—»+(fl
4、y—an^+bn（tf*O时为二次函数）等比数列町(1—0=巧a+叫"1■貧1—冬1—?y-Aqn+b（指数型函数）我们用函数的观点揭开了数列祌秘的“面纱”，将数列的通项公式以及前n项和看成是关于n的函数，为我们以后解决数列的W题提供了非常有益的启示。请看下面几道综合应川函数和数列求解的例题。例1:等差数列、巾，an-W,anj=n(mn),则^+,,=•分析：因为是等差数列且所以6/*0,即通项公式是关于n的一次函数，一次函数图象是一条直线，则(m+n,am
5、+n)三点共线，所以利用每两点形成直线斜率n—w?n——；7相等，即U，得久w+w=o,这里利用等差数列通项公式与一次函数的对应m-n(，n+n)-m关系，并结合图像，直观、简洁。例2:等差数列｛中，Sw=，(m*«)，则=•分析：因为｛人｝是等差数列，所以乂是关于n的二次蚋数并且没有常数项，二次蚋数m+n的图像是一条抛物线，则m、n关于对称轴对称，对称轴为又=——■，与X轴交点分别为0,2m+/z关于直线x=对称，故么+z,=0.例3:等差数列屮，4=25,前n项和为=n为何值时最大？分析：等差数列
6、前n项和可以看成关于n的二次函数4)/7,(n，S„)是抛物线/U)=4%2+(4—4)%上的离散点，根据题意，/(3)=/(11)，则因为欲求乂最大值，故其对应二次函数图像开口向下，并且对称轴为x==即当二7时，S最2w大.二、构造函数求解法我们应不断的鼓励学生寻找积极主动、灵活性强的学习方法。而学会构建函数，体现了学生在学习过程中的体验、思考与参与.在构建函数之后，需要利用函数的概念和性质來解决问题。函数基本性质包括了奇偶性、单调性、周期性，最值性等等。1、构造具体函数例4:己知递增数列对任意正整
7、数n,人=^2+/1化值成立，求.<分析:解法一：构造一次函数，由数列戸」递增得到：A+1—义〉0对于一切恒成立，即2«+1+义>0恒成立，所以又〉-(2,2+1)对一切ney•恒成立，设/⑻二―(2/!+1)，则只需求出的最大值即可，显然有最大值=_3，所以J的取值范围是：乂〉—3.解法二：构造二次函数，A=/12+如看成函数/(X)二x2+Ax，它的定义域是W因力是递增数列，即函数=+为递增函数，单调增区间为2[1，+00),抛物线对称轴又=-1,因为函数f(X)为孤立的点，要函数单调递增，就看动轴
8、与已知区间的位置。从对应图像上看，对称轴x=在JC-1-5的左侧也可以，于是，222得；l>—3.2、构造抽象函数例5:己知数列｛人｝满足afi+4=an+2-%=1，则久oo5=_,分析：因为不清楚数列的具体类型，所以仅仅利用数列的知识不容易解决，而此时我们从函数视角去考虑，就容易联想到函数的周期性。令/⑻=人，则/("+4)=/("+2)-/⑻那么函数/00满足/(x+4)=/(x+^—/W@，ZC<+Q=/fr*4)-/Xx+2)②，①+②，得/(l+9=—乂⑶，即函数周期为12则/(I)+/(
9、2)+…+/(12)=/(I)+/(2)+…+/(6)—/⑴—/(2)——，⑹=0所以52005=W…+“2005=167S12+/(2005)=/(2005)=/(1)=^=1.
