利用函数知识解决数列问题

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1、利用函数知识解决数列问题一，数列的函数性数列是一种特殊的函数，它具有函数的一些性质，存在它所在函数的“势”，如果也用y=f(x)来表示的话，它的自变量取值范围为整数，所以它的图象为一群孤立的点。(1)表现形式具有函数性，如等差数列，叫二％+(n-l)d二nd+(%-d),符合心亠力M_亠y=ax+b的函数形式；亏二沖+3二22,咸者'二A^+Bn],符合y=ak+bx的函数形式；如等比数列宀二皿、—■,它们符合附带常量的幕指数函数的形式。(2)一些数列具有递增性或递减性，如等差数列，①吒>0,d>0,数列递增，叫是'的最小值；

2、②叫>0,d<0,数列递减，必有一项叫$0,JW0,%或*是马的最大值；③叫VO,d<0,数列递减，叫是'的最大值；④叫<0,d>0,数列递增，必有一项叫WO,町或斗a是号的最小值。(3)一些数列的前n项和耳有最值，自然也具备了对称性，与对称轴等距项的和相等。对称轴为整数，最值在对称轴的点上；对称轴不是整数，最值在对称轴两侧距对称轴最近的两整数的位置上。例举，1,等差数列｛白町中，,1>0,当耳取最大值时，求n解：①用函数求解:f(4)二f(9),对称轴n二(4+9)一2二6.5,因叫>0,要想使'取得最大值，数列/町必须为递

3、减数列，n为整数，n=6或者n=7。②用数列求解：设首项：S,公差：d,建立方程，(吨二-6d,吨>0,d<0)解得n=6.5,n为整数，n=6或者n=7。③用不等式求解：叫20,J£0,口■二(n-7)$0,J二(n-6)W0,6WnW7,n为整数，n=6或者n=7。2,等羌数列｛%｝中，耳二31,'是它的前n项和，%=叽①求'，②问这个数列的前多少项的和最大？最大值的多少？解：①设首项：珂,公差：d,建立方程，解得d=-2,*=n(32-n)。②因引，对称轴为门二(10+22)4-2=16,所以前16项的和最大。虽二16X

4、(32-16)=16X16=256o卷3,若两个等差数列｛"町，｛叫｝的前n项和分别为％和兀，且有兀3■■丁%玉=冬1仏耳二加,求咯的值。解：(1)由"■弓*<推导出：丁,①在｛%｝■4-1兀41中则有f(〒)二3n+2,比二6n-l,%二71。②在｛力｝中则有f(丁)二2n+l,®二4n-l,仏二59。(2)也可以引入公约数来解。设它们的公约数为nk,则有％=nk(3n+2),Z"=nk(2n+1),%2二耳-£

5、1二711<,同理得仏二59k。