从函数视角解决数列问题（戴海林）

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1、从函数视角解决数列问题瑞安中学戴海林数列是一类定义在正整数集或它的有限子集上的特殊函数，可见，任何数列问题都蕴含着函数的本质及意义，具有函数的一些固有特征。另外，数列与函数的综合也是当今高考命题的重点与热点，因此我们在解决数列问题时，应充分利用函数有关知识，以它的概念、图象、性质为纽带，架起函数与数列间的桥梁，揭示了它们间的内在联系，从而有效地分解数列问题。（在下面所选讲的问题中，都是从函数的角度展开，事实上，每个问题都还有其它解法，请大家能充分综合数列有关知识，从多角度、多方位完成，本课题大约3至4课时）一、以函数概念为载体，合理消化数列问题。设计意图：通过对数列中

2、的通项公式，前n项和公式等这些特殊函数关系的概念的理解与分析，引导学生充分认识与，与之间的对应关系，从而合理地找到解决问题的办法。例１、（1997年上海市高考试题）设(n)=(n∈N)，则(n+1)－(n)等于（）A、B、C、D、点拨：此题从形式上看是考查学生对数列的通项的意义的理解，但事实上更侧重于对函数符号及对应关系的考查，解决它的关键在于如何引导学生对函数=的概念的本质的理解，即如何正确表示，从而得出答案Ｄ。例２、（1999年全国高考试题）已知函数y=的图象是自原点出发的一条折线,当n≤y≤n+1(n=0,1,2……)时，该图象是斜率为b的线段（其中正常数b≠1

3、），设数列,由f()=n(n=1,2……)定义，求，和的表达式。点拨：本题是集函数概念、直线斜率、数列等知识于一体的综合问题，具有高度的抽象性，要求学生掌握归纳、推理、综合等基本能力，同时能合理运用数形结合思想直观简化问题，解决它的关键是如何通过斜率把函数的两个变量有机结合起来，再根据两者的对应关系反映到数列的递推关系中。即=b(n=1,2……)，其中x=0，则－=，且=，可求得=1+，由递推关系通过累加得=。二、以函数图象为工具，直观简化数列问题。设计意图：函数图象是函数特征的直观体现，利用图象解决数学问题（以形助数）是我们在解决问题中经常采用的手段。在数列中，我们

4、可以利用等差数列通项公式、前n项和公式及等比数列的通项公式中展示的图象关系来解决问题，常常会起到意想不到的效果。例３、在等差数列中，s是其前n项和，公差为.（1）若=m，=n(m≠n)，求（2）若s=s(m≠n)，求s点拨：（1）由=+(n－1)d=dn+(－d)可知：是关于n的一次式，则三点(m,)、(n，)、(m+n,)共线，根据任意两点斜率相等得=0。（2）由s=n+=可知：是关于n的二次式，且无常数项，令f()=，由s=s得f(m)=f(n)，则=为此二次函数图象的对称轴，因此f(m+n)=f(0)=0，即s=0。另解：由s=得可知：是关于n的一次式，则三点（

5、m,共线，易求s=0。当然此题可以有其它很多方法来解决，但是我们从中不难发现利用函数图象直观简便。例４、（2000年成都市诊断性试题）已知等差数列，公差为d，等比数列，公比为q(q>１)，若a=b=2，a=b。(1)比较a与b，a与b的大小；(1)猜想并证明a与b(n≥5)的大小关系。点拨：由题意知a=2+(n－2)d=dn+2－2d，b=2q根据函数y=2q与y=dx+2－2d的图象可知，在x=2与x=4处有两个公共点，则ab，并可判断当n≥5时有a

6、显性反映，深入挖掘并利用函数的性质可以大大简化解题过程，收到较好的解题效果。如函数的单调性、周期性等性质在数列中应用很广泛，通过下面这些问题的分析，不但可以使学生进一步巩固函数的性质，而且可以让学生提高解决数列问题的视野。例５、（2000年北京西城区抽样测试题）已知数列是以a为首项，a为公比的等比数列(a>0,a≠1)，令b=alga若中每一项总小于它后面的项，求a的范围。点拨：由已知得a=a，则b=nalga，又b>b，则nlga<(n+1)alga（1）当a>1时，a>显然成立。（2）当０

7、01或0