应用函数思想解决数列问题

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1、应用函数思想解决数列问题上海市澄衷高级中学丁志伟数列问题一向是高中数学的重点与难点，除了其自身的一些特殊性质外，从函数角度来看，数列从根本上讲是一种特殊的函数（通常是离散函数）。所以很多数列问题都可以从函数的角度来考虑，运用函数的概念、性质、图像来解决问题。所以本文主要说明如何应用函数思想来解决数列问题。基础知识：用函数的观点理解等差数列、等比数列1.对于等差数列，∵an=a1+（n－1）d=dn+（a1－d），当d≠0时，an是n的一次函数，对应的点（n，an）是位于直线上的若干个点.当d＞0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d=0时，函数是常数函数，对应的数

2、列是常数列；d＜0时，函数是减函数，对应的数列是递减函数.若等差数列的前n项和为Sn，则Sn=pn2+qn（p、q∈R）.当p=0时，{an}为常数列；当p≠0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题.2.对于等比数列：an=a1qn-1.可用指数函数的性质来理解.当a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜1时，等比数列是递增数列；当a1＞0，0＜q＜1或a1＜0，q＞1时，等比数列{an}是递减数列.当q=1时，是一个常数列.当q＜0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列.一、运用函数的有关概念解决问题1．运用函数图像上点的坐标的意义来解决问题例1已知等差数列的前m项和为3

3、0，前2m项和为100，则它的前3m项和为（C）A、130B、170C、210D、260分析:等差数列的前n项和=,可以看成关于n的二次函数,则可以看成关于n的一次函数.一次函数图像是一条直线,那么三个点就在同一条直线上,利用斜率相等,得它的前3m项和为210.2．运用复合函数概念解决问题例2、已知分析:条件理解为，而二、运用函数图像使数列问题直观化具体化1、利用凸凹函数图像解决问题例3、某厂2001年投资和利润逐月增加，投入资金逐月增长的百分率相同，利润逐月增加值相同。已知1月份的投资额与利润值相等，12月份投资额与利润值相等，则全年的总利润与总投资N大小关系（A）A、>

4、NB

5、）数列的公差d的取值范围;（2）中，最大值是哪一个？分析：（1）可以看成关于n的二次函数=，可看成图像上的点（12，）（13，）分别在x轴上方和下方（如图），图像与x轴的交点一个介于12和13之间，另一个必过原点（不含常数项的二次函数），且开口向下。解方程=0，得=，于是，，解得（2）因为，可以看出抛物线对称轴介于6和6.5之间，因此最大.4、构造特殊函数模型结合图象解决问题例6、数列通项,前30项中最大项和最小项分别是(c)ABCD分析:用分离常数法,得.该函数图象是经过坐标轴平移后的反比例函数图像（如图）。根据函数图像特点,判断出答案应选(C).三、运用函数的基本性质解

6、决数列问题1运用周期函数性质求周期数列的项例7、定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列是等和数列，且，公和为5，那么的值为3，这个数列的前n项和的计算公式为_____（当n为偶数时，；当n为奇数时，）分析：根据题意观察，，得，，得，可以看出数列是以2为周期的数列，因为，18=2，所以===3。2应用函数单调性求最值例8、在XOY平面上有一列点,…对每个自然数n，点位于函数的图像上，且点、点（n,0）与点（n+1,0，）构成一个以为顶点的等腰三角形。（1）求的纵坐标的表达式；（2）

7、若对每个自然数n，以为边长能构成一个三角形，求a的取值范围；（3）若（n）若a取（2）中确定的范围的最小整数，问数列前多少项的和最大？分析：(1);(2)是关于n的指数式函数,因为,所以0<<1.函数单调递减,则>>,构成一个三角形的条件是<+,得a的取值范围是