运用导数解决含参函数问题.doc

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1、第5卷(2011年)中学课程辅导·教学研究Vol5．(2011)第2期第145—146页SecondarySchoolCurriculumCoaching·TeachingResearchNo．2P145-P146运用导数解决含爹函数问题廖助会摘要：导数不仅是高中数学的重要内容之一，也是高考的考查重点。本文从五个方面对含参函数问题进行了分析与研究，着重介绍利用导数解决这些问题的相应方法，以期对学生的备考有所帮助。关键词：高考；导数；含参函数中图分类号：G633．6文献标识码：A文章编号：1992—

2、7711(2011)02-0145-02运用导数解决含参函数问题既是高中教学的重点和难点，又是历年高考的热点。这类问题既能全面地考查学生对导数及其运算的运用能力，又能综合地考查学生对函数与方程思想、分类与化归思想、构造思想、数形结合思想、等价变换思想等以及综合运用知识解决新情境、新问题的能力。这既体现了新的课程理念，又强调了数学的实际应用，有利于考查学生的实践能力。由于含参函数问题本身具有复杂性，大多数学生在解决这类问题时往往感到束手无策。本文结合近几年高考试题中出现的“含参函数”问题。从“已知函

3、数的切线，利用导数求出参数的值”、“已知函数的单调性，利用导数求出参数范围”、“已知函数的最值，利用导数求出参数范围”、“已知函数的极值，利用导数求出参数范围”及“利用导数解决含参函数中的恒成立问题”五个方面对高考中出现的含参函数问题进行分析与研究．着重介绍利用导数解决这些问题的相应方法。以期对学生的备考有所帮助。一、已知函数的切线，利用导数求出参数的值已知函数的切线方程或切线斜率，可利用导数的方法求出切点坐标或求出曲线中的有关参数．进而可以研究曲线的其他性质。例1(2009年高考全国理科卷I)已

4、知直线y=x+l与曲线y=ln(+口)相切，则a的值为()。A．1B．2C．一lD．一2解：设切点P(xo'Yo)，则yo=xo+1=In(xo+a)，·．=·‘=，，得o+a=l。o’oyo=O．Xo=一1．‘．a=2两者的区别：设函数y=厂()在某个区间内可导，若f)>o(厂()<0)，则f(x)为增函数(减函数)；反过来，若f(x)为增函数(减函数)，~1．f()I>0(厂()≤0)。例2(2010年高考江西文科卷)设函数厂()=6x+3(a+2)x2+2ax。(1)若f(x)的两个极值点

5、为，，且XlX：=1，求实数a的值：(2)是否存在实数0，使得厂()是(一∞，+o。)上的单调函数?若存在，求出a的值；若不存在，说明理由。解：厂(x)=18xZ+6(a+2)x+2a(1)由题意可知，：，为f()=0的两根，从而2==l，得o=9；(2)因为△=36(0+2)—4x18x2a=36(a2+4)>O．所以不存在实数o．使得f(x)是R上的单调函数。评注：若函数f(x)在区间(a，b)上是单调函数，则在区间(a，b)内导函数厂()≥0或厂()≤0恒成立。三、已知函数的最值，利用导数求

6、出参数范围函数的最值是指函数在某个区间上的最大(小)值。导数的引入拓展了高考数学命题的范围，摆脱了对二次函数的依赖，借助导数求高次函数、指数函数、对数函数、三角函数等的最值。在解决这类问题时，经常用到分类讨论、等价转化及数形结合等数学思想，根据所给条件建立有关参数的关系．从而求得参数的取值范围。例3(2010年高考江西理科卷)设函数f(x)=lnx+ln(2-x)+ax(a>O)，若厂()在(0，1】上的最大值为1，求a的值。故答案选B评注：本题根据导数的几何意义：函数在某点处的导数就是函数在该点

7、处的切线的斜率，列出方程求得切点坐标，进而求出参数的值。二、已知函数的单调性。利用导数求出参数范围在给定的条件下，函数y=f(x)可能是单调的(增函数或减函数)，也可能不单调，要根据具体问题进行探究，判断出导函数f()的符号，列出方程或不等式求出参数的值或参数的取值范围。在利用导数解决函数的单调性问题时，要注意以下解：由题意可得()=÷一协碧+n，当∈(0，1】，f()>0，即，()在区间(o，1】上是单调递增函数：故)在区间(0，1]上的最大值为厂(1)=1，即a=l。评注：本题通过导数得到函

8、数f(x)的单调性，结合区间(0，1】的端点得到函数f(x)的最大值，从而确定参数作者简介：廖助会，任教于云南腾冲县第一中学。图l廖助会运用导数解决含参函数问题a的值。四、已知函数的极值，利用导数求出参数范围在解决这类问题时，将问题转化为研究函数的单调性，而函数的单调性问题又常常转化为含有参数的一元二次不等式问题，从而达到考查函数与方程、分类与化归、数形结合的数学思想。例4(2010年高考全国文科卷I)已知函数f(x)=3_3戳2+3x+1，且)在区间(2，3)中至少有一个极值点，