运用导数解决含参函数问题的策略（精品）.doc

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1、运用导数解决含参函数问题的策略梁小金【专题名称】高中数学教与学【专题号】G312【复印期号】2010年07期【原文出处】《中学教学参考(理科)》(南宁)2010年2期第4()〜41页【作者简介】梁小金，广西钦州市第一中学(535000)o【关键词】EEUU以函数为载体，以导数为工具，考查函数性质及导数应用为目标，是最近儿年函数与导数交汇试题的显著特点和命题趋向。运用导数确定含参数函数的参数取值范囤是-啖常见的探索性问题，主要是求存在性问题或恒成立问题屮的参数的范I韦I。解决这类问题，主要是运用等价转化的数学思想，通过不断地转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化

2、为熟悉、规范哄至模式化、简单的问题。解决的主要途径是将含参数不等式的存在性或恒成立问题根据其不等式的结构特征，恰当地构造函数，等价转化为禽参函数的最值讨论。历年高考试题屮也常出现此类问题，且涉及的知识面广，综合性强，不少考生在处理这类问题时，不知道确定参数范围的函数关系或不等关系从何而来。木文通过一些实例介绍这类问题相应的解法，期望对考生的备考有所帮助。一、含参函数中的存在性问题利用题设条件能沟通所求参数之间的联系，建立方稈或不等式(组)求解。这是求存在性范围问题最显然的一个方法。【例1】已知函数/(工)=y%2+lnx,若存在篦ow[l,e]使不等式/(x0

3、)Wm,求实数m的取值范围.解：(l)/(x)=y-x2+lnx(x>0),/(x)=x+—，由XG[l,e]/(x)>0得函数/(戈)在区间e[l,Xe]为增函数，则当力w[1<]时(篇)w[*,1+*<]・故要使存在xoe[l,e]使不等式/(x0)Wm成立，只需mM*即可.【例2】已知函数/(尢)=-r4的定义域为3力+3[0,2].(1)求/(兀)的值域・(2)设g(%)=^-ax3-a2x(a#0)，若对任意的«!e[0,2],总存在巧e[0,2]使得/(«,)-g(x2)=0,求实数a的取值范围.解:(1)因为0WX2,所以①当x=0=0；当0<%

4、w2时,_v£—]"3xT2仅当％"时取“J)・综合①(2)得0w/G)w寻./(«)=yX—X+岭(当且(2)设函数g(x)在［0,2］上的值域为A,因为*1w[0,2],总存在巧€[0,2],使得/(引)-gg)=0,所以［0申5而-a①当a<0时“)<0,函数g&)在[0,2]上为递减函数,g(0)=0,g(2)=-

5、-a-2a2<0,不符合②当a>0时9g'(x)=a(x+7a)(x-^a)»若0

6、l.若Q2,即a>4时9gf(x)<0,函数g(J在[0,2]上为递减函数，所以g(2)=-

7、-a-2a2<0,g(0)=0,不满足，所以［0,寻］QA.综合①②得二、含参函数屮的恒成立问题可先利用题设条件建立变暈的关系式，将所求变量和另一U知变暈分离，得到函数关系,从而使这种具有函数背景的范国问题迎刃而解，再由U知变量的范阳求出函数的值域，即为所求变量的范围。类型有：⑴双参数屮知道其屮一个参数的范I札⑵双参数中的范国均未知。【例3】已知函数/(力)=lnz-旦(awR)・X(1)讨论/(可在［1$］上的单调性；(2)若/(%)V尤在［1.+8)上恒成立■试求

8、a的取值范围.解：(I)/(x)的定义域为(0,+8)/(对二丄+X耳=士铝，显然x2>0.xx(1)当a>-1时严+aM0,BPf(%)>0在［1,e］上恒成立，此时人勿在［1上］上为增函数；(2)当aW-e时庐+aWO,即f(兀)W0在［1,e］上恒成立，此时/&)在［1#］上为增函数(3)当-eCa<-1时，令/(x)=0得兀=-a,于是：当1WX-a时，令f&)<0,所以/&)在［1,-a］上为滅函数；当“WXe时，令fC)>0,所以/(幻在［-a,e］上为增函数.综上可知，当心-1时/(%)在［l,e］±为增函数;当aC-e时/&)在［l,e］±为减

9、函数;当-eVa<-1时，时/(第)在［1,-a］上为减丙数，在［-a,e］上为增函数.(H)由/(%)<*得lnx-l所以a^xlnx-x2・令g(%)=xlnx要使a>xx-x在［1,+8)上恒成立，只需a>g(x)・而g'(x)=lnx-2x+1.令0(%)=lnx-2x+1，贝!10(力)=■一2・因为x^l,所以0(%)<0•因为x>l,所以皿)在［1»+8)上单调递滅，所以0&)0^(1)=-1<0,因此gr(x)<0•故g(^)在［1,+00)上单调递减，则g")Wg(l)=所以a的取值范围是(-1,+8).【例4】设函数/(兀

10、)=X4+ax3+2x2+6(xgR,