含参导数问题

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1、由参数引起的血案——含参导数问题一、已知两个函数，，按以下条件求k的范围。（1）对于任意的，都有成立。（构造新函数，恒成立问题）（2）若存在（与恒成立问题区别看待）（3）若对于任意的（注意可以不是同一个x）（4）对于任意的。（注意：哪个函数的值域含于哪个函数的值域取决于：谁的x是任意取的，谁的x是总存在的。）（5）若对于任意,总存在相应的,使得成立；（与（4）相同）二、已知函数，(1)函数f(x)在区间(2,﹢∞)上单调递增，则实数a的取值范围是,(1)函数f(x)在区间(2,3)上单调，则实数a的取值范围是.三、设函数()，若对于任意的都有成立，求实数的取值范围.四

2、、含参数导数问题的三个基本讨论点一、求导后，考虑导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式），从而引起讨论。二、求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，从而引起讨论。三、求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）,导函数为零的实根也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。例1、设函数.求函数的单调区间和极值；（可因式分解，比较两根大小，注意别丢两根相等情况)解：……………………………5分时，，是函数的单调减区间；无极值；……………6分时，在区间上，；在区间上，，因此是函数的单调减区间，

3、是函数的单调增区间，函数的极大值是；函数的极小值是；………………8分时，在区间上，；在区间上，，因此是函数的单调减区间，是函数的单调增区间函数的极大值是，函数的极小值是………………10分例1变式．若，若,讨论的单调性。（比较根大小，考虑定义域）例2、已知是实数，函数。（不知导函数为零的实根是否落在定义域内，从而引起讨论）（Ⅰ）求函数的单调区间；（主要看第一问，第二问选看）（Ⅱ）设为在区间上的最小值。（）写出的表达式；（）求的取值范围，使得。解：（Ⅰ）函数的定义域为，，由得。考虑是否落在导函数的定义域内，需对参数的取值分及两种情况进行讨论。（1）当时，则在上恒成立，所以

4、的单调递增区间为。（2）当时，由，得；由，得。因此，当时，的单调递减区间为，的单调递增区间为。①当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以。②当，即时，在上单调递减，所以。综上所述，（）令。①若，无解；②若，由解得；③若，由解得。综上所述，的取值范围为。例3已知函数其中。当时，求函数的单调区间与极值。解：由于，所以。由，得。这两个实根都在定义域R内，但不知它们之间的大小。因此，需对参数的取值分和两种情况进行讨论。（1）当时，则。易得在区间，内为减函数，在区间为增函数。故函数在处取得极小值；函数在处取得极大值。（2）当时，则。易得在区间，内为增函数，在区间为减函数。故函

5、数在处取得极小值；函数在处取得极大值。例4、已知函数。（I）讨论函数的单调性；（*第二问选做*）（II）设.如果对任意，，求的取值范围。解：（Ⅰ）的定义域为（0，+∞）..当时，＞0，故在（0，+∞）单调增加；当时，＜0，故在（0，+∞）单调减少；当-1＜＜0时，令=0，解得.则当时，＞0；时，＜0.故在单调增加，在单调减少.（Ⅱ）不妨假设，而＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调减少，从而，等价于，①令，则①等价于在（0，+∞）单调减少，即.从而故a的取值范围为（-∞，-2].例5、已知函数()=In(1+)-+(≥0)。(Ⅰ)当=2时，求曲线=()在点(1，(1))

6、处的切线方程；(Ⅱ)求()的单调区间。解：（I）当时，，由于，，所以曲线在点处的切线方程为即（II），.当时，.所以，在区间上，；在区间上，.故得单调递增区间是，单调递减区间是.当时，由，得，所以，在区间和上，；在区间上，故得单调递增区间是和，单调递减区间是.当时，故得单调递增区间是.当时，，得，.所以没在区间和上，；在区间上，故得单调递增区间是和，单调递减区间是参数讨论流程：1.一般先去求两根，最好是将导函数因式分解，方便直接看出根。有时甚至要考虑导函数等于零是否有根，如二次函数判别式小于零时就没根。2.两根大小不确定时需要对参数分情况讨论两根大小（别忽略了二次函数

7、两根相等情况）。3.如果原函数有定义域，或者参数有自己的取值范围，必须对这些进行考虑。4．如果二次函数的二项式系数有参数，必须考虑二次函数的开口方向，也要小心系数为零的情况。易错点归类：1.复合函数求导反复检查保证无误。2.没有考虑原函数的定义域。3.没有考虑题干中参数的取值范围。3.把原函数图象和导函数图象弄混。4.写结论的时候，用并集去写单调区间.