用数列的函数“情结”解有关数列的问题

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1、毕业论文学校：西南大学学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学（师范）年级：2010级4班指导教师：李嘉姓名：杨辉4月10日毕业论文学校：西南大学学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学（师范）年级：2010级4班指导教师：李嘉姓名：杨辉4月10日用数列的函数“情结”解有关数列的问题作者：杨辉西南大学数学与统计学院，重庆400715摘要：数列是定义在正整数集或它的有限子集｛1，2,3…n｝上的特殊函数，所以我们在解有关数列的问题时，可以类比用解函数问題的方法来处理它。本文通过以下四方面进行探讨，一是运用函数的概念来解数列问题；二是运用函数的性质（单调性、周期性）来解数列

2、问题;三是借助函数的思想（数形结合、构造函数）来解数列问题；四是通过数列和函数的综合应用题来体现数列与函数的密不可分。关键词：函数；数列；概念；单调性；周期性；函数思想DealingwiththeProblemofSequencewiththeThoughtofFunctionAuthor:YangHuiSchoolofMathematicsandStatistics,SouthwestUniversity,Chongqing400715,ChinaAbstractSequenceisdefinedasspecialfunctionswhichisinasetofpos

3、itiveintegersorinitsfinitesubset｛I，2,3---N｝.Therefore,wecantrytosolveaproblemofsequenceinawayofdealingwiththatoffunctions.Thispaperdiscussesthisissueformthefollowingfouraspects.Thefirstoneisdealingwithaproblemofsequencewiththeconceptoffunctions.Thesecondoneisdealingwithaproblemofsequence

4、withthequalityoffunctions，suchasmonotonicityandperiodicity.Thethirdoneissolvingtheproblemofsequencewiththeideaoffunctions，suchassymbolic-graphiccombinationandconstructor.Thelastoneisreflectingtheirrelationshipthroughsomeword-problemsconsistingofbothofthem.Keywords：Functions；Sequence；Conc

5、ept；Monotonicity；Periodicity；Functionalidea引言：数列是高中数学的重点内容之一，它能培养学生的逻辑思维、抽象思维、归纳思维等能力，同时在现实生活中也有着广泛的应用，如计算生物种群数量增加，银行利息增长，人口增长等。在高考大纲中，数列作为六大主干知识中的重要知识模块，对于大部分学生来说，这既是重点也是难点。然而我们应该注意到，数列是定义在正整数集或它的有限子集｛1,2,3…n｝上的特殊函数，它可以说是函数概念的继续和延伸，仔何数列的问题都蕴含着函数的木质，所以在解决数列的问题时，可以充分利用数列的函数“情结”，用函数的本质及阆有的

6、特征来架起函数与数列之间的桥梁，达到分解步骤，简化解题过程的目的。1.运用函数的概念来解数列的问题通过对数列的通项公式，前n项和的公式等这些特殊函数关系的概念的理解与分析，合理找到解决问题的办法，列如，对于高中最主要的等差数列和等比数列来说，我们可以把等差数列的通项看作&然数n的“一次函数”，而前ri项和看作不含有常数项的自然数n的“二次函数”，等比数列近似地看作自然数n的“指数函数”。下面从几个特例来说明函数概念在解数列题中的应用。(1).例1:设数列=—-—I—!—+—-—+•••+丄2V)Z7+1z?+2/?+32n则a,♦，-a,等于()解析：这个题是考察学生对

7、数列通项的理解，对于初学者来说直接做是不好做的，那么我们可以把这数列看作作函数(1)仲)=丄+丄+丄...+丄x+1x+2x+32x这样就变成对函数符号及对应关系的考察，既是如何表示/(%+1)，又因为12x+2所以得到答案：—2m+12z?+2(2).例2:(2002年上海高考题)己知仏=3，仏+1=仏2#2+，求人.解析：这个题如果用平时我们求通项公式那样去推，的确不好做，实际上是考察我们对复合函数概念的理解，我们不妨把这个数列的递推公式看成函数f(x+)=/(x)2,xeZBJEf(x)=，2U-l)，，(x-1)=/2(x-2