用不动点法解函数、数列等相关问题

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1、8中等数学用不动点法解函数、数列等相关问题雷波(广东省佛山市南海区桂城中学，528200)(本讲适合高中)2口+1(n>1)．则数列{a}的通项公式一般地，设函数厂()的定义域为D，若an=·一——存在。∈D，使厂(。)=。成立，则称。为．(1999，江苏省高中数学夏令营)()的不动点，或称(。，。)为函数Y=f()解：令：2x+1，得=一1．贝4图像的不动点．“不动点”是荷兰数学家布劳a+1=2(a一l+1)．威尔(Brouwer)首先提出的．在近几年高考与所以，数列{a+1}是以a+1=2为首数学竞赛中，以不动点理论为背景的试题频项、2为公比的等比数列．频出

2、现．本文介绍用不动点法解函数、数列等故a+1=2×2一=2，且口a=2一1．相关问题．例2在正项数列{a}中，1求递推数列的通项公式口1=10，+I=10~／口(=1，2，⋯)．求通项公式a．定理1若数列{8}满足％+。=pa+g(P}0，1})，且。是函数f()=px+g的解：设blg口．则b川=b+1．不动点，则有a+一。=P(a一。)．令=—+1，得=2．贝0证明：因为。是函数f()=px+q的不动点，所以，b+。一2：去(b一2)．oPX0+q．①又a+l：pet+9．②所以，数列{bn一2}是以b一2=一1为②一①得首项、为公比的等比数列．。+1～N,

3、0p(n一Xo)．注：令=px+q，可求得函数f()：px故2．．1×(～．+g的不动点为。：．于是，由b：lgan，得o：10：lO一({)“，即an：l02一(吉)(nEN)an+l～=P(2；n一)．．定理2设数列{a}满足例1已知数列{n}的首项a=1，a=an+l：(c≠0u，ad—一bc#0)，收稿日期：2008—06—11为完全平方数．3一4y一2=±4．当Y=5时，代入方程得易知只有3一4y一2=4有整数解，此3一4y一2：±16．时，：疗程的解为(，Y)=(14，9)．易知只有3一4y一2=一16有整数解，综上所述，方程的解为此时，方程的解为(

4、，Y)=(2，5)．(，Y)=(2，5)，(14，9)．当y：9时，代人方程得(未完待续)2008年第l0期9函数／()=ax+b(d-a)2②，且首项n≠(n。)．，j(1)若函数()有两个相异不动点1、③2，则±二一二!．二．(d一Ⅱ)d——aa+l一2一a—cx,2an一2’b=一—o‘4a—d(2)若函数f()只有一个不动点。，且。0≠一d，则从而，6一。=一。．④12c1+将式④代入式①得an+1一Oa+da+d证明：(1)因为函数f()有两个相异不—丁。n一—丁。an+1一Xo动点X,l、，所以，由=得ca+dCX,+(d—a)一b=0．—a±．二一

5、2cd0n+变形得一ax,=b—dx，即b—dx=(c—a)．d·贝0b—dxl=(c1一a)I．故：an+1一)5oa十口an—270又因为an+l=，’所‘以，’d2c2c—C+。一0+d。a+da一oaa+ban+l一一’又。=，所以，且口。+，一．=二—．12cl+同理an+l-X2-．例3已知a1l'an+1：一2a4(＼nJ∈n一两式相除得N+)．求通项公式a．an+1一1a—cxlaH—1(2005，希望杯培训题)an+l—x2a—CX,2an一2(2)因为函数f()只有一个不动点。，解：令=测且a≠一d，所以，2一5x一3=0．aa+b=3是()

6、=x+3因此，：一，：an+l一o一。的两个不动点．故(a—c0)a+(b—dxo)①ca+dan+l+一2：—2a—4上+一2—，’①-由=得nC+口②十(d—a)—b=0．则方程有唯一解。．fA=(d一0)+46c=0，1lan+1+2an+—2—故{口一d一●一【0百a+1—3一5a一3l0中等数学不动点为。：，那么，函数可写成所以，数列{l等—a—n—jJ}是以等—a—1—j：一吾)1——a戈)=口x-b)+b．为首项、一詈为公比的等比数列．则()：。2x-)+b，’()=。3x-b)+b故等1=芸)，=(一吾)．)=口一)+b．因此=(EN注：(1)此

7、定理即：若。是f()的不动点，则。也是()的不动点．例4已知数列{a}满足(2)此定理可用数学归纳法证明．13a一1’art+I‘(3)利用不动点能较快地求得厂()的几次迭代．求数列{a}的通项公式．例5已知函数／()=了4(解：令=．则一1)．若(；)为正整数，求的最小值．4+4+1：0．因此，。=一是函数／()：3x-1的解：令导(一1)：，解得=一4．则jr()=了4(一1)=了4(+4)不动点．一4．寺．所以，()=(导)(+4)一4，则一1：挚((+4)”‘。2an十—2—由于’()为正整数，则55I(+4)．14因此，的最小值为5一4=3121．=～

8、4-l5。nn4-例6若