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1、8中等数学用不动点法解函数、数列等相关问题雷波(广东省佛山市南海区桂城中学,528200)(本讲适合高中)2an-1+1(n>1).则数列{an}的通项公式一般地,设函数f(x)的定义域为D,若an=.存在x0∈D,使f(x0)=x0成立,则称x0为(1999,江苏省高中数学夏令营)f(x)的不动点,或称(x0,x0)为函数y=f(x)解:令x=2x+1,得x=-1.则图像的不动点.“不动点”是荷兰数学家布劳an+1=2(an-1+1).威尔(Brouwer)首先提出的.在近几年高考与所以,数列{an+1}是以a1+1=2为首数学竞赛中,以不动点理论为背景的试题频项、
2、2为公比的等比数列.频出现.本文介绍用不动点法解函数、数列等故an-1nnn+1=2×2=2,即an=2-1.相关问题.例2在正项数列{an}中,1求递推数列的通项公式a1=10,ak+1=10ak(k=1,2,⋯).求通项公式an.定理1若数列{an}满足an+1=pan+q1(p∈{0,1}),且x0是函数f(x)=px+q的解:设bk=lgak.则bk+1=bk+1.2不动点,则有an+1-x0=p(an-x0).1令x=x+1,得x=2.则证明:因为x0是函数f(x)=px+q的2不动点,所以,1bk+1-2=(bk-2).x0=px0+q.①2又an+1=p
3、an+q.②所以,数列{bn-2}是以b1-2=-1为②-①得首项、1为公比的等比数列.2an+1-x0=p(an-x0).n-11注:令x=px+q,可求得函数f(x)=px故bn-2=-1×.2q1n-1b-+2+q的不动点为x0=1-p.于是,由bn=lgan,得an=10n=102,1n-12-qq即an=102(n∈N+).an+1-=pxn-.1-p1-p定理2设数列{an}满足例1已知数列{an}的首项a1=1,an=aan+ban+1=(c≠0,ad-bc≠0),can+d收稿日期:2008-06-11为完全平方数.3x-4y-2=±4.当y=5时,代
4、入方程得易知只有3x-4y-2=4有整数解,此3x-4y-2=±16.时,方程的解为(x,y)=(14,9).易知只有3x-4y-2=-16有整数解,综上所述,方程的解为此时,方程的解为(x,y)=(2,5).(x,y)=(2,5),(14,9).当y=9时,代入方程得(未完待续)2008年第10期92ax+b(d-a)函数f(x)=,且首项a1≠f(a1).b=-,②cx+d4c](1)若函数f(x)有两个相异不动点x1、a-dc=.③2x0x2,则将式③代入式②得an+1-x1a-cx1an-x12=·;(d-a)d-aan+1-x2a-cx2an-x2b=-=·
5、x0.a-d2(2)若函数f(x)只有一个不动点x0,且4·2x0a≠-d,则a+d从而,b-dx0=-x0.④212c1a=+.将式④代入式①得n+1-x0a+dan-x0证明:(1)因为函数f(x)有两个相异不a+da-a+dx0n22ax+ban+1-x0=动点x1、x2,所以,由x=得can+dcx+d2a+dan-x0cx+(d-a)x-b=0.=·.2cd2an+变形得cx-ax=b-dx,即cb-dx=(cx-a)x.dan+则b-dx1=(cx1-a)x1.故1=2c·can+1-x0a+dan-x0aan+b又因为an+1=,所以,dcan+d+x0
6、2c2cc=+·.aan+ba+da+dan-x0an+1-x1=-x1,can+da-d又x0=,所以,(a-cx1)(an-x1)2c即an+1-x1=.can+d12c1=+.an+1-x0a+dan-x0(a-cx2)(an-x2)同理,an+1-x2=ca.1an+3n+d例3已知a1=,an+1=(n∈22an-4两式相除得N+).求通项公式an.an+1-x1a-cx1an-x1=·.(2005,希望杯培训题)an+1-x2a-cx2an-x2x+3(2)因为函数f(x)只有一个不动点x0,解:令x=.则2x-42且a≠-d,所以,2x-5x-3=0.a
7、an+b1x+3an+1-x0=-x0因此,x1=-2,x2=3是f(x)=2x-4can+d的两个不动点.故(a-cx0)an+(b-dx0)=.①1can+d2an+1an+312ax+ban+1+2=2+=,①由x=得an-422an-4cx+dan+3-5(an-3)2cx+(d-a)x-b=0.an+1-3=-3=.②2an-42an-4则方程有唯一解x0.①÷②得2Δ=(d-a)+4bc=0,11an+1+an+故a-d222x0==-·.2can+1-35an-301中等数学11ban+a1+不动点为x0=,那么,函数可写成2221-a
