用函数观点看数列问题.pdf

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1、Vo．6No．1鲤科考教育教学1用函数观点看数列问题袁斌锋(江西省新建县第二中学江西新建330100)摘要：近年来高考教学加强了对函数与数列的交汇题的考查．这就要求考生对等差数列、等比数列与函数的性质要做到心中有数，对于数形结合、分类讨论等数学思想方法要相当地熟悉，还需学会利用递推法求数列的通项公式。关键词：函数；观点；数列：问题【中图分类号】G633．6【文献标识码】B【文章编号】1671—8437(2014)01—0033—01近年来高考数学加强了对函数与数列的交汇题的考查．数)】列是特殊的函数，利用函数的观点处理

2、数列问题，简便易行，这就要求考生对等差数列、等比数列与函数的性质要做到心中有=吉‘1一)=1数，对于数形结合、分类讨论等数学思想方法要相当地熟悉．还点评：本题把数列、二次函数的最值、直线的斜率及数列的需学会利用递推法求数列的通项公式。极限等知识交汇在一起，难度大．要求学生对数形结合、数列的例l：若5n和分别表示数列{}和{的前n项的和，数裂项等知识掌握得比较熟练。列{QI}是等差数列，0l=-4，0TI+l=0n一2，且对任意正整数n，例2：已知正项数列{o4中，0：6，点A(an，、／)在抛物线=3S．+4nx+1上

3、；数列{中，点鼠(n，)在过点(0，1)，以方向向量为(1)求数列{bn】的通项公式；(1，2)的直线上。(2)在平面直角坐标系内，直线的斜率为，且与曲线(1)求数列{，{bn1的通项公式；有且仅有一个交点，与y轴交于点，记dn=IDnf，求；c2，若，c，={乏：：；是否存在keN,使／c7：c3，求(‘+矗+．．。+击))成立?若存在，求出丘值；若不存在，说明理由。解答：(1)由已知知数列{l的公差是一2，则o,=--4+(n-1)×(一2)=一2(n+1))对任意正整数不等式(1~／nI_+l一又因为3S．+4n

4、，所以当n=l时，bl=TI=2Sr．M=3al+4：一8—=：≤0成立，求正数a的取值范围。当nt>2时，bn=——l=3(sn—sn一。)+4n—4(n一1)=3(—sn-1)+Vn一2+4=30II+4解答：(1)将点A(％，、／)代入f=x+1中得0-件。=l，由于0=一2(n+1)，．．3卜3(n+1)】十4=一6n一2。．．Ⅱl一砜=d=1．‘．0=0I+(n-I)·l=n+5由于b。适合上式，．·．一6n一2(／／∈Ⅳ)又直线l：y=2x+1．·．=2n+l(2)设Z的方程为y=b,x+m，则f与曲线y=

5、x2的交点满足c2：{_，消去_'r，得oty=o．x+m当为偶数时，k+27为奇数’’．直线f与曲线只有一个交点，．·．A=0，即m=0oo．k+27)-~f(k)．。．k+27+5-~(2k+1)．’．k=4；·．．m一竽测Do(0，一竽)当k为奇数时．k+27为偶数·JD小I_竽_(．竽)I．．2(+27)+1：4(+5)．·．=．}(舍去)综上，存在唯一的k=4符合条件。[-(6n+8)12一：l4+4I：⋯⋯+1～5㈤aTM一‘．．~=18n+l5(n∈N)(3)‘·’1=可面1丽即a≤一-=(1+11X／2

6、n+3b1)．．．(1音)1，11、一记，(n)=—(1+)(1+)．．‘(1+)18、18n+1518n+33x／2n+3D1D2DnT；~lim(1+酉I+．．’+1-)⋯则，(n+1)：—V'2n+5(1+b)(1+)．．-(1+)(1+)x=l—im【1一1)一(奇一a66)+．-．+(一一33一V0．6No．1娌铆棠船考教育教学13“2)，与原递推式比较司得：Al一1，A2=l，亦即原递推式司，殳_=·．等‘丽2n+4为o,m~3+1=2(％一3+1)，则数列(一3“+l}是以a广3+1=2为首里一一~2+1

7、6n+16>1项，公比是2的等比数列，于是Q3n+l-2“，亦即％=3n+2“一1：一～、／·X／2n+~一、／(3)由于=雨1‘．．n+1)>，(n)，即n)递增。则1=1r=<1=，·‘n)去。}且=11～>，O

8、-2=O，设0l-4。(1)用表示I；(2)求{1111++11)=的通项公式；(3)设{L}J}的前n项为sn，证明：当11I>2时，恒有=十¨·+-(1一1)>1手s<(1一1)=吾解答：(1)x．．x'是方程一+lX(3n+1)=0的两个根．‘}丛则xl+x2=0”L，x1．：代入x1+x2+xlx2：O中，得，点评：本题用