高考一轮数学复习 74曲线和方程 理 同步练习（名师解析）

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1、第7章第4节知能训练·提升考点一：曲线和方程的概念1．命题p：曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解；命题q：曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线．则p成立是q成立的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：B2．方程(x2－4)2＋＝0表示的图形是(　　)A．两条直线　　　　　　B．两个点C．四个点D．四条直线解析：方程等价于x2＝4且y2＝4，即x＝±2且y＝±2，即.故方程表示四个点，选C.答案：C3．设命题甲：点P的坐标适合方程F(x，y)＝0，命题乙：点P在曲线C上，命题丙：点Q坐标不适合F(x，y)＝0

2、，命题丁：点Q不在曲线C上，已知甲是乙的必要条件，但不是充分条件，那么丙是丁的________条件．解析：依题意可知曲线C上的点都满足方程，但满足方程F(x，y)＝0的解为坐标的点不一定都在曲线C上，那么逆否命题不满足方程的解为坐标的点一定不在曲线C上，从而丙是丁的充分条件，但不是必要条件．答案：充分不必要考点二：曲线的交点问题4．如果过两点A(a,0)和B(0，a)的直线与抛物线y＝x2－2x－3没有交点，那么实数a的取值范围是________．答案：a＜－5．对任意实数k，直线y＝kx＋b与椭圆(0≤θ＜2π)，恒有公共点，则b的取值范围是________．答

3、案：[－1,3]考点三：轨迹问题6．由动点P向圆x2＋y2＝1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB＝60°，则动点P的轨迹方程为________．答案：x2＋y2＝47．已知点F，P点在直线y＝－4上方，到点F和直线y＝－4的距离之和为.(1)求动点P的轨迹方程；(2)设动点P的轨迹是C，曲线C交y轴于点M，在曲线C上是否存在两点A、B使∠AMB＝.解：(1)解法一：如右图，设P点坐标为(x，y)，过P作PQ垂直直线y＝－4，垂足为Q，根据题意

4、PF

5、＋

6、PQ

7、＝，即　＋y＋4＝.整理得x2＝－y(y＞－4)．解法二：由

8、PF

9、＋

10、FQ

11、＝可观察出

12、P

13、F

14、与P点到直线y＝的距离相等，则P点在以F为焦点，O(0,0)为顶点的抛物线x2＝－2py(p＞0)上，∴－＝－，即p＝.∴x2＝－y.又P在y＝－4上方，则y＞－4，即所求点P的轨迹方程为x2＝－y(y＞－4)．(2)曲线C与y轴交点M(0,0)，∴M即原点O.设A(x1，－x)，B(x2，－x)，kOA＝－x1，kOB＝－x2，kOA·kOB＝x1x2＝－1.取x1＝1，则x2＝－1.∴A(1，－1)，B(－1，－1)．使kOA·kOB＝－1，即∠AMB＝.8．已知点A(a,0)(a＞4)，点B(0，b)(b＞4)，直线AB与圆x2＋y2－4x－4y＋3＝0

15、相交于C，D两点，且

16、CD

17、＝2.(1)求(a－4)(b－4)的值；(2)求线段AB中点M的轨迹方程．解：(1)∵直线bx＋ay－ab＝0与圆(x－2)2＋(y－2)2＝5相交，且

18、CD

19、＝2，得圆心到直线AB的距离d＝2，∴＝2.化为ab＋8－4a－4b＝0，∴(a－4)(b－4)＝8.(2)设M(x，y)，则由(1)得(2x－4)(2y－4)＝8，∴(x－2)·(y－2)＝2(x＞2，y＞2)为所求M点的轨迹方程.1.(·北京)若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为(　　)A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线解析：解法一：设P点坐

20、标为(x，y)，根据题意列方程得：(x＋1)－＝－1(x＞0)．化简得y2＝8x为抛物线．解法二：点P到直线x＝－2的距离与到点(2,0)的距离相等，则点P的轨迹为抛物线．答案：D2．(·浙江)如图，AB是平面α的斜线段，A为斜足．若点P在平面α内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是(　　)A．圆B．椭圆C．一条直线D．两条平行直线解析：P到AB距离为定值，即P在空间中的轨迹为圆柱．α截圆柱为椭圆，∴P在α内轨迹为椭圆．答案：B3．(·宁夏、海南)已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.(1)求

21、椭圆C的方程；(2)若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，＝λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．解：(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a、c，由已知得解得a＝4，c＝3，所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)设M(x，y)，其中x∈[－4,4]．由已知＝λ2及点P在椭圆C上可得＝λ2，整理得(16λ2－9)x2＋16λ2y2＝112，其中x∈[－4,4]．(ⅰ)λ＝时，化简得9y2＝112，所以点M的轨迹方程为y＝±(－4≤x≤4)，轨迹是两条平行于x轴的线段．(ⅱ)λ≠时，方程变形为＋＝1，其中x∈[－4,4]．当0<λ<时，点M的轨迹为中心

22、在原点、实