高考一轮数学复习 85圆锥曲线综合问题 理 同步练习（名师解析）

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1、第8章第5节知能训练·提升考点一：定点定值问题1．在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A、B两点．(1)如果直线l过抛物线的焦点，求·的值；(2)如果·＝－4.证明直线l必过一定点，并求出该定点．解：(1)由题意：抛物线焦点为(1,0)，设l：x＝ty＋1，代入抛物线方程y2＝4x，消去x，得y2－4ty－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－

2、4t2＋4t2＋1－4＝－3.(2)设l：x＝ty＋b，代入抛物线方程y2＝4x，消去x，得y2－4ty－4b＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b，∵·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b.令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，∴b＝2，∴直线l过定点(2,0)．2．如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为F(3,0)，右准线l的方程为：x＝12.(1)求椭圆的方

3、程；(2)在椭圆上任取三个不同点P1、P2、P3，使∠P1FP2＝∠P2FP3＝∠P3FP1，证明＋＋为定值，并求此定值．解：(1)设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)．因焦点为F(3,0)，故半焦距c＝3，右准线l的方程为x＝，从而由已知＝12，得a2＝36，因此a＝6，b＝＝＝3.故所求椭圆方程为＋＝1.(2)证明：记椭圆的右顶点为A，并设∠AFPi＝αi(i＝1,2,3)，不失一般性，假设0≤α1＜，且α2＝α1＋，α3＝α1＋.又设点Pi在l上的射影为Qi，因椭圆的离心率e＝＝，从而有

4、FPi

5、＝

6、PiQi

7、·e＝(－

8、c－

9、FPi

10、cosαi)e＝(9－

11、FPi

12、cosαi)(i＝1,2,3)，解得＝(1＋cosαi)(i＝1,2,3)．因此＋＋＝[3＋(cosα1＋cos(α1＋)＋cos(α1＋))]，而cosα1＋cos(α1＋)＋cos(α1＋)＝cosα1－cosα1－sinα1－cosα1＋sinα1＝0，故＋＋＝为定值．3．(·济南模拟)椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，P为椭圆C上任意一点，已知·的最大值为3，最小值为2.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于

13、M、N两点(M，N不是左右顶点)，且以线段MN为直径的圆过点A，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．解：(1)∵P为椭圆上任意一点，∴

14、PF1

15、＋

16、PF2

17、＝2a且a－c≤

18、PF1

19、≤a＋c，令y＝·＝

20、

21、

22、

23、cos∠F1PF2＝(

24、

25、2＋

26、

27、2－4c2)＝[

28、

29、2＋(2a－

30、

31、)2－4c2]＝(

32、PF1

33、－a)2＋a2－2c2，当

34、PF1

35、＝a时，y有最小值a2－2c2；当

36、PF1

37、＝a－c或a＋c时，y有最大值a2－c2，∴.∴，b2＝a2－c2＝3，∴椭圆方程为＋＝1.(2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y

38、2)，将y＝kx＋m代入椭圆方程得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝，∵y1＝kx1＋m，y2＝kx2＋m，y1y2＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2，又以MN为直径的圆过点A(2,0)，∴·＝0，即x1x2－2(x1＋x2)＋4＋y1y2＝0，∴7m2＋16km＋4k2＝0，∴m＝－k或m＝－2k，且满足Δ＞0，若m＝－2k，直线l恒过定点(2,0)，不合题意舍去，若m＝－k，直线l：y＝k(x－)恒过定点(，0)．考点二：最值及范围问题4．(·荆州调研)已知抛物线y2＝4x

39、的顶点O，点A(5,0)，倾斜角为的直线l与线段OA相交但不过O、A两点，且交抛物线于M、N两点，求△AMN面积最大时直线l的方程，并求△AMN的最大面积．解：设直线l的方程为y＝x＋b，∵直线l与线段OA相交，∴－5＜b＜0.由方程组消去y，得x2＋(2b－4)x＋b2＝0，∴Δ＝(2b－4)2－4b2＝16(1－b)＞0，∴直线l与抛物线必有两个交点，设为M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由弦长公式得：

40、MN

41、＝

42、x1－x2

43、＝.点A到直线l的距离为d＝＝.∴△AMN的面积S＝

44、MN

45、·d＝2·(b＋5)．S2＝4

46、(1－b)(b＋5)2＝4(－b3－9b2－15b＋25)．令y＝－x3－9x2－15x＋25(－5＜x＜0)，则y′＝－3x2－18x－15.当－5＜x＜－1时，y′＞0；当－1＜x＜0时，y′＜0，∴当x＝－1，y有最大值．从而当b＝－1时，S2＝4(1－b)(b＋5)2有最大值128.∴当b＝－1