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1、求二次函数关系式的几种解法陈铿一、二次函数常用的几种解析式的确定已知抛物线上三点的坐标,通常选择一般式。已知抛物线上顶点坐标(对称轴或最值),通常选择顶点式。已知抛物线与x轴的交点坐标,选择交点式。1、一般式2、顶点式3、交点式4、平移式将抛物线平移,函数解析式中发生变化的只有顶点坐标,可将原函数先化为顶点式,再根据“左加右减,上加下减”的法则,即可得出所求新函数的解析式。例1、已知二次函数的图像如图所示,求其解析式。解法一:一般式设解析式为∵顶点C(1,4),∴对称轴x=1.∵A(-1,0)与B关于x=1对
2、称,∴B(3,0)。∵A(-1,0)、B(3,0)和C(1,4)在抛物线上,∴即:二、应用举例1、已知二次函数的图像过原点,当x=1时,y有最小值为-1,求其解析式。∴三、尝试练习解:设二次函数的解析式为∵x=1,y=-1,∴顶点(1,-1)。又(0,0)在抛物线上,∴a=1即:∴∴2、已知二次函数与x轴的交点坐标为(-1,0),(1,0),点(0,1)在图像上,求其解析式。解:设所求的解析式为∵抛物线与x轴的交点坐标为(-1,0)、(1,0)∴又∵点(0,1)在图像上,∴a=-1即:∴∴∴三、尝试练习三、尝
3、试练习3、将二次函数的图像向右平移1个单位,再向上平移4个单位,求其解析式。解:∵二次函数解析式为(1)、由向右平移1个单位得:(左加右减)(2)、再把向上平移4个单位得:(上加下减)即:所求的解析式为例3、已知:如图,是某一抛物线形拱形桥,拱桥底面宽度OB是12米,当水位是2米时,测得水面宽度AC是8米。(1)求拱桥所在抛物线的解析式;(2)当水位是2.5米时,高1.4米的船能否通过拱桥?请说明理由(不考虑船的宽度。船的高度指船在水面上的高度)。即:∴EFa=-0.1解:(1)、由图可知:四边形ACBO是等
4、腰梯形过A、C作OB的垂线,垂足为E、F点。∴OE=BF=(12-8)÷2=2。∴O(0,0),B(-12,0),A(-2,2)。设解析式为又∵A(-2,2)点在图像上,∴例3、已知:如图,是某一抛物线形拱形桥,拱桥底面宽度OB是12米,当水位是2米时,测得水面宽度AC是8米。(1)求拱桥所在抛物线的解析式;(2)当水位是2.5米时,高1.4米的船能否通过拱桥?请说明理由(不考虑船的宽度。船的高度指船在水面上的高度)。PQ(2)、分析:船能否通过,只要看船在拱桥正中间时,船及水位的高度是否超过拱桥顶点的纵坐标
5、。y=水位+船高=2.5+1.4=3.9>3.6解:∵∴∴顶点(-6,3.6),当水位为2.5米时,∴船不能通过拱桥。PQ是对称轴。4、如图;有一个抛物线形的单行线隧道桥拱,这个桥拱的最大高度为3.6m,跨度为7.2m.一辆卡车车高3米,宽1.6米,它能否通过隧道?三、尝试练习即当x=OC=1.6÷2=0.8米时,过C点作CD⊥AB交抛物线于D点,若y=CD≥3米,则卡车可以通过。分析:卡车能否通过,只要看卡车在隧道正中间时,其车高3米是否超过其位置的拱高。三、尝试练习4、如图;有一个抛物线形的单行线隧道桥拱
6、,这个桥拱的最大高度为3.6m,跨度为7.2m.一辆卡车车高3米,宽1.6米,它能否通过隧道?解:由图知:AB=7.2米,OP=3.6米,,∴A(-3.6,0),B(3.6,0),P(0,3.6)。又∵P(0,3.6)在图像上,当x=OC=0.8时,∴卡车能通过这个隧道。刘炜跳投想一想5.刘炜在距离篮下4米处跳起投篮,篮球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离为2.5米时,达到最高度3.5米,然后准确落入篮筐.已知篮筐中心到地面距离为3.05米.如果刘炜的身高为1.9米,在这次跳投中,球在头顶上方0.15米处
7、出手,问求出手时,他跳离地面的高度是多少?c分析:要求出他跳离地面的高度,关键是1.首先要求出该抛物线的函数关系式2.由函数关系式求出C点的坐标,即求出点C离地面的高度h,h-0.15米-刘炜的身高,就是他跳离地面的高度.h如图,刘炜在距离篮下4米处跳起投篮,篮球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离为2.5米时,达到最高度3.5米,然后准确落入篮筐.已知篮筐中心到地面距离为3.05米.如果刘炜的身高为1.9米,在这次跳投中,球在头顶上方0.15米处出手,问求出手时,他跳离地面的高度是多少?探索:Cyxoh解
8、:建立如图所示的直角坐标系,则抛物线的顶点A(0,3.5),篮筐中心点B(1.5,3.05)所以,设所求的抛物线为y=ax²+3.5又抛物线经过点B(1.5,3.05),得a=-0.2即所求抛物线为y=-0.2x²+3.5当x=-2.5时,代入得y=2.25又2.25-1.9-0.15=0.2m所以,他跳离地面的高度为0.2m五、小结1、二次函数常用解析式.已知图象上三点坐标,通常选择一般式。.已知