2016年北京自主招生数学模拟题：三角函数模型的简单应用.docx

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1、优选2016年自主招生数学模拟题:三角函数模型的简单应用【试题内容来自于相关和学校提供】题目1：已知（为非零实数），则_____ ·A.1·B.3·C.5·D.不能确定题目2：已知角的始边与轴非负半轴重合，终边在直线上，则_____ ·A.·B.·C.24/24优选·D.题目3：已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与B的距离为（　　）·A.akm·B.√3akm·C.√2akm·D.2akm题目4：已知函数，若，则_____ ·A.·B.·

2、C.2014·D.2015题目5：曲线y=sinx（0≤x≤2）与x轴围成的图形的面积为·A.2·B.4·C.·D.－4题目6：24/24优选2002年8月，在召开国际数学家大会，大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形、与中间的小正方形拼成的大正方形．若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积为1，小正方形的面积为125，则sinθ+cosθ=75．题目7：如图所示，某游乐园内摩天轮的中心O点距地面的高度为50m，摩天轮做匀速运动．摩天轮上的一点P自最低点A点起，经过tmin后，点P的高度h=40sin(π6t-π2)

3、+50（单位：m），那么在摩天轮转动一圈的过程中，点P的高度在距地面70m以上的时间将持续_____ min．24/24优选题目8：某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t=0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，B两点的距离d（cm）表示成t（s）的函数，则d=10sinπt60，其中t∈[0，60]．题目9：如图，有一壁画，最高点A处离地面4m，最低点B处离地面2.2m，若从离地高1.6m的C处观赏它，则当视角θ最大时，C处离开墙壁_____ m．题目10：已知扇形的圆心角为2θ(0＜θ

4、＜π4)，半径为r，分别按图1，图2作扇形的内接矩形，若按图1作出的矩形面积的最大值为24/24优选12r2tanθ，则按图2作出的矩形面积的最大值 为θ2．题目11：在△ABC中，已知AB=2，BC=1，CA=√3，分别在AB，BC，CA上取点D，E，F使得△DEF为正三角形，设∠FEC=α．（1）若α=60°，求△DEF的边长；（2）求△DEF边长的最小值．题目12：24/24优选“神州”号飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心（记为B，C，D）．

5、当返回舱距地面1万米的P点时（假定以后垂直下落，并在A点着陆），C救援中心测得飞船位于其南偏东60°方向，仰角为60°，B救援中心测得飞船位于其南偏西30°方向，仰角为30°．D救援中心测得着陆点A位于其正东方向．（1）求B，C两救援中心间的距离；（2）D救援中心与着陆点A间的距离．题目13：如图为一建筑物的正视图，尺寸如图中标出，为了做好火灾的防备工作，需要在地面上确定安装喷水枪的地点E，经测试只有当∠AEB=∠CED（图中的θ角）时，才能使得水枪喷射能够覆盖整个建筑物，求水枪安装点E到建筑物的距离EA长．（注：图中A，B，

6、C，D，E在同一个平面内；不考虑喷水枪的高度．）题目14：如图，已知点A（2，0），B（1，0），点D，E同时从点B出发沿单位圆O逆时针运动，且点E的角速度是点D的角速度的2倍．设∠BOD=θ，0≤θ＜2π（Ⅰ）当∠BOD=π6，求四边形ODAE的面积；（Ⅱ）将D、E两点间的距离用f（θ）表示，并求f（θ）的单调区间．24/24优选题目15：如图，实线部分的月牙形公园是由圆P上的一段优弧和圆Q上的一段劣弧围成，圆P和圆Q的半径都是2km，点P在圆Q上，现要在公园内建一块顶点都在圆P上的多边形活动场地．（1）如图甲，要建的活动场

7、地为△RST，求场地的最大面积；（2）如图乙，要建的活动场地为等腰梯形ABCD，求场地的最大面积．答案部分1、B解析：略2、D解析：在角的终边上任取一点（或），总有，而，选择用表示比较好，否则需要讨论终边是在第一象限或第三象限，这样容易犯错误，当然公式记忆不正确也会产生错误答案.3、B解析：24/24优选解：由图可知，∠ACB=120°，由余弦定理cos∠ACB=AC2+BC2-AB22AC•BC=a2+a2-AB22a2=-12，则AB=√3a（km）。故选B。4、B解析：∵，，∴，∴，，，∴，∴.5、B解析：略6、见解析解

8、析：24/24优选解：由题意，大正方形的边长为1，小正方形的边长为15设θ所对的直角边为x，则由勾股定理得：x2+(x+152=1∴x=35，∴sinθ=35，cosθ=45∴sinθ+cosθ=75故答案为：24/24优选757、4解析：解：令40sin(π6t-π2)+5