2016年北京自主招生数学模拟题：导数在研究函数中的应用.docx

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1、高考2016年自主招生数学模拟题:导数在研究函数中的应用【试题内容来自于相关和学校提供】题目1：函数y=14x4-13x3的极值点的个数为（　　）·A.0·B.1·C.2·D.3题目2：已知a＞0，设函数f（x）=2009x+1+20072009x+1+sinx（x∈[-a，a]的最大值为M，最小值为N，那么M+N=（　　）·A.0·B.2008高考·C.4016·D.4017题目3：函数f（x）=x2+2x的单调递增区间是（　　）·A.（-∞，1）·B.（0，+∞）·C.(12，+∞)·D.（1，+∞）题目4：已知f（x）为定义在（-3，3）上的可导奇函数，且f

2、（x）＜f'（x）（其中f'（x）是f（x）的导函数）对于x∈（-3，3）恒成立，则f（x）＞0的解集为（　　）·A.（1，3）·B.（0，3）·C.（-3，-1）·D.（-3，0）题目5：函数y=ex-lnx的图象是（　　）·A.高考·B.·C.·D.题目6：已知函数f（x）=x3-3x，若对于任意实数α和β恒有不等式

3、f（2sinα）-f（2sinβ）

4、≤1m+1成立，则m的取值X围是34．题目7：曲线y=lnx在点（1，0）处的切线方程为_____ ．题目8：高考已知函数f（x）=x2-2lnx，则f（x）的最小值为_____ ．题目9：已知曲线f（x）=x

5、3上点P（1，1），则在点P的切线方程为_____ ．题目10：曲线y=xsinx在点M（π，0）处的切线的斜率是_____ ．题目11：已知函数f(x)=x2+2x2f'（x），若g（x）的最小值是-6，求函数f（x）的解析式．题目12：已知函数f(x)=13x3-bx2+cx+d在点（0，f（0））处的切线方程为y=2．（I）求c、d的值；（II）求函数f（x）的单调区间．高考题目13：已知f（x）=8x2+16x-k（k∈R），g（x）=2x3+5x2+4x．（1）求g（x）的极值；（2）若∀x1、x2∈[-3，3]，都有f（x1）≤g（x2）成立，求k的取

6、值X围．题目14：曲线C：f（x）=ax3+bx2+cx+d关于原点成中心对称，f（x）极小=f（1）=-23．（1）求f（x）的解析式；（2）在曲线C上是否存在点P，使过P点的切线与曲线C除P点以外不再有其它公共点？证明你的结论．题目15：已知函数f（x）=ax3+2bx2-3x的极值点是x=1和x=-1．（1）求a，b的值；（2）求过点A（1，-2）的曲线y=f（x）的切线方程．答案部分1、C解析：解：∵f′（x）=x3-x2=x（x2-1）＞0，则f（x）在（-1，0），（1，+∞）上是增函数，f（x）在（-∞，-1），（0，1）上是减函数。故选C。2、C解

7、析：高考解：∵f（x）=2009x+1+20072009x+1+sinx，设g（x）=2009 x+1+20072009x+1，则g（x）=2009x+1+2009-22009x+1=2009-22009x+1，因为2009x是R上的增函数，所以g（x）是R上的增函数。函数g（x）在[-a，a]上的最小值是g（-a），最大值是g（a）。函数sinx是奇函数，它在[-a，a]上的最大值与最小值互为相反数，最大值与最小值的和为0。所以函数f（x）的最大值M与最小值N之和M+N=g（a）+g（-a）=（2009-22009a+1）+（2009-高考22009-a+1）=

8、4018-（22009a+1+22009-a+1）=4018-（22009a+1+2×2009a1+2009a）=4018-2=4016。故选C。3、D解析：解：由于f′(x)=2x-高考2x2=2(x3-1)x2令f′（x）＞0，则得x3-1＞0，即x＞1，则函数f（x）=x2+2x的单调递增区间是（1，+∞）。故答案为D。4、B解析：解：∵f（x）为定义在（-3，3）上的可导奇函数，∴f（0）=0∵f（x）＜f'（x）对于x∈（-3，3）恒成立，∴当x∈（-3，3），f'（x）＞0恒成立。∴函数f（x）在（-3，3）为增函数，f（x）＞0也即f（x）＞f（0）

9、，∴0＜x＜3故选B5、A解析：解：由题意知，函数y=ex-lnx的定义域为（0，+∞），可排除B；∵y=ex-lnx，∴y′=ex-1x而在区间（0，+∞）上，函数y=ex由1→+∞，函数y=1x由+∞→0，故若令函数的导函数y ′=0，则有且仅有一解，亦即函数y=ex-lnx只有一个极值点。故答案为A。6、见解析解析：高考解：

10、f（2sinα）-f（2sinβ）

11、≤m恒成立，等价于

12、f（x）max-f（x）min

13、≤1m+1，由于2sinα∈[-2，2]，2sinβ∈[-2，2]，故只需求出f（x）=x3-3x在[-2，2]上的最值，而f′（x）=3x2-3，

14、由f′（x