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《全国统考2022高考数学一轮复习高考大题专项四突破2空间中的垂直与空间角学案理含解析北师大版20210329165.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、高考突破2 空间中的垂直与空间角题型一证明垂直关系求线面角【例1】(2019某某,19)如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1,平面A1ACC1⊥平面ABC,∠ABC=90°,∠BAC=30°,A1A=A1C=AC,E,F分别是AC,A1B1的中点.(1)证明:EF⊥BC;(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.20/20高考解题心得求线面角可以用几何法,即“先找,后证,再求”,也可以通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角,取其余角就是斜线和平面所成的角.对点训练1(2020新高考全国1,20)如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,P
2、D⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.(1)证明:l⊥平面PDC;(2)已知PD=AD=1,Q为l上的点,求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.20/20高考题型二证垂直关系及求二面角【例2】(2019全国2,理17)20/20高考如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BE⊥EC1.(1)证明:BE⊥平面EB1C1;(2)若AE=A1E,求二面角B-EC-C1的正弦值.解题心得用向量求二面角,由于在求平面法向量的坐标时,坐标的取值不同,导致平面法向量的方向相反,所以两个法向量的夹角与二面角相等或互补,所以根
3、据图形判断所求二面角是锐角还是钝角,进而确定二面角余弦值的正负.20/20高考对点训练2(2020全国1,理18)如图,D为圆锥的顶点,O是圆锥底面的圆心,AE为底面直径,AE=AD.△ABC是底面的内接正三角形,P为DO上一点,PO=66DO.(1)证明:PA⊥平面PBC;(2)求二面角B-PC-E的余弦值.20/20高考题型三求空间角与存在垂直关系问题【例3】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PCD⊥平面ABCD,AB=2,BC=1,PC=PD=2,E为PB中点.(1)求证:PD∥平面ACE;(2)求二面角E-AC-D的余弦值;(3)在棱PD上
4、是否存在点M,使得AM⊥BD?若存在,求PMPD的值;若不存在,说明理由.20/20高考解题心得线面垂直中的探索性问题同“平行关系中的探索性问题”的规律方法一样,有两种解法,一是几何法,先探求点的位置,多为线段的中点或某个三等分点,然后给出符合要求的证明.二是利用空间向量探索,把要成立的结论当作条件,据此列方程或方程组,通过坐标运算进行判断.对点训练3如图1,在边长为2的菱形ABCD中,∠BAD=60°,将△BCD沿对角线BD折起到△BC'D的位置,使平面BC'D⊥平面ABD,E是BD的中点,FA⊥平面ABD,且FA=23,如图2.20/20高考(1)求证:FA∥平面
5、BC'D;(2)求平面ABD与平面FBC'所成角的余弦值;(3)在线段AD上是否存在一点M,使得C'M⊥平面FBC'?若存在,求AMAD的值;若不存在,说明理由.20/20高考题型四求空间点到面的距离【例4】如图,在多面体ABCDEF中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,四边形BDEF是矩形,平面BDEF⊥平面ABCD,DE=2,M为线段BF的中点.(1)求M到平面DEC的距离及三棱锥M-CDE的体积;(2)求证:DM⊥平面ACE.20/20高考解题心得求空间的距离用找公垂线的方法比较难下手,用向量代数的方法则简捷,高效.(1)点P到平面α的距离可以通过
6、在平面α内任取一点A,求向量PA在平面α的法向量n上的投影来解决.即若PA为平面α的一条斜线段,n为平面α的法向量,则B到平面α的距离d=
7、PA·n
8、
9、n
10、.(2)异面直线间的距离可以通过在两条直线上任意各取一点A,B,求向量AB在公垂线的方向向量n上的投影来解决;直线到与其平行的平面的距离,平行平面间的距离都可转化为点到平面的距离.对点训练4底面为菱形的直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为棱A1B1、A1D1的中点,(1)在图中作一个平面α,使得BD⫋α,且平面AEF∥α(不必给出证明过程,只要求作出α与直棱柱ABCD-A1B1C1D1的截面);(2)若
11、AB=AA1=2,∠BAD=60°,求点C到所作截面α的距离.20/20高考突破2 空间中的垂直与空间角例1方法一:(1)证明连接A1E,因为A1A=A1C,E是AC的中点,所以A1E⊥AC.又平面A1ACC1⊥平面ABC,A1E⫋平面A1ACC1,平面A1ACC1∩平面ABC=AC,所以,A1E⊥平面ABC,则A1E⊥BC.20/20高考又因为A1F∥AB,∠ABC=90°,故BC⊥A1F.所以BC⊥平面A1EF.因此EF⊥BC.(2)解取BC中点G,连接EG,GF,则EGFA1是平行四边形.由于A1E⊥平面ABC,故A1E⊥EG,所以平行四边形E
