高三一轮复习--36一元二次不等式及其解法

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1、一元二次不等式及其解法考纲点击1．会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型．2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二方方程的联系．3．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．热点提示1.以考查一元二次不等式的解法为主，兼顾二次方程的判别式、根的存在性等知识．2.以集合为载体，考查不等式的解法及集合的运算．3.以函数、数列、解析几何为载体，以二次不等式的解法为手段，考查求参数的范围问题．4.以选择、填空题为主，偶尔穿插于解答题中考查.知识梳理1．一元二次不等式的解法(1)将不等式的右端化为0，左端化为二次项系

2、数大于0的不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)；(2)求出相应的一元二次方程的根；(3)利用二次函数的图象与确定一元二次不等式的解集．x轴的交点情况2．二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a>0)的根有两相异实根x1，x2(x10(a>0)的解集{x

3、x≠－}Rax2＋bx＋c<0(a>0)的

4、解集{x

5、x1

6、x>x2或x0.即a2>16∴a>4或a<－4.答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)5．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表x－3－2－101234y60－4－6－6－406则不等式ax2＋bx＋c>0的解集是________．解析：由表格可知，不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x

7、x>3，或

8、x<－2}．答案：(－∞，－2)∪(3，＋∞)[例1]解下列不等式：(1)2x2＋4x＋3>0；(2)－3x2－2x＋8≥0.[自主解答](1)令2x2＋4x＋3＝0，此时Δ＝42－4×2×3<0，结合对应二次函数y＝2x2＋4x＋3的图象，可知该不等式的解集为R.[悟一法]解一元二次不等式的步骤：(1)先对不等式变形，使不等式的右边为0，左边的二次项系数为正；(2)计算相应方程的判别式；(3)求出相应方程的根，或者判定相应方程无根；(4)结合相应二次函数的图象写出不等式的解集．1．解不等式－10，所以

9、x<－2或x>0.由②得(x＋3)(x－1)≤0，所以－3≤x≤1.将①、②的解集在数轴上表示出来(如图)：∴原不等式解集为{x

10、－3≤x<－2或0

11、x＞12或x＜－1}．∴îïïíïïìa＞012·(－1)＝

12、－1a12＋(－1)＝－a－1a，解之得a＝2.[悟一法]解含参数的一元二次不等式的步骤：(1)二次项系数若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)讨论判别式Δ与0的关系，判断方程的根的个数。(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．注意：二次项系数中含有参数时，参数的符号影响着不等号的方向．[通一类]2．解关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a≤0.解：原不等式可化为(x－a)(x－1)≤0.(1)当a>1时，不等式的解集为{x

13、1≤x≤a}；(2)当a＝

14、1时，不等式的解集为{x

15、x＝1}；(3)当a<1时，不等式的解集为{x

16、a≤x≤1}.[做一题][例3]已知不等式mx2－2x－m＋1<0.(1)若对所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围；(2)设不等式对于满足

17、m

18、≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围．不等式（a2-1）x2-(a-1)x-1<0恒成立(2)分析：从形式上看，这是一个关于x的一元二次不等式，可以换个角度，把它看成关于m的一元一次不等式，并且已知它的解集为[－2,2]，求参数x的范围．设f(m)＝(x2－1)m＋(1－2x)，则其为一个以m为自变量的一次函数，其图象是直线，由题意知

19、该直线当－2≤m≤2时线段在x轴下方，f(-2)<0f(2)<0由题意得即-2x