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时间:2020-09-25
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1、第2讲 一元二次不等式及其解法【2015年高考会这样考】1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式模型.2.考查一元二次不等式的解法及其“三个二次”间的关系问题.3.以函数、导数为载体,考查不等式的参数范围问题.【复习指导】1.结合“三个二次”之间的联系,掌握一元二次不等式的解法.2.熟练掌握分式不等式、无理不等式、含绝对值不等式、高次不等式、指数不等式和对数不等式的解法.基础梳理1.一元二次不等式的解法(1)将不等式的右边化为零,左边化为二次项系数大于零的不等式ax2+bx+c>0(a>0)或ax2+bx+c<0(a>0).(2)求出相应的一元二次方程的根.(3)
2、利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集.2.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表:判别式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根有两相异实根x1,x2(x1<x2)有两相等实根x1=x2=-没有实数根ax2+bx+c>0(a>0)的解集{x
3、x>x2或x<x1}Rax2+bx+c<0(a>0)的解集{x
4、x1<x<x2}∅∅一个技巧一元二次不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集的确定受a的符号、b2-4ac的符号的影响,且与相应的二次函数、
5、一元二次方程有密切联系,可结合相应的函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,数形结合求得不等式的解集.若一元二次不等式经过不等式的同解变形后,化为ax2+bx+c>0(或<0)(其中a>0)的形式,其对应的方程ax2+bx+c=0有两个不等实根x1,x2,(x1<x2)(此时Δ=b2-4ac>0),则可根据“大于取两边,小于夹中间”求解集.两个防范(1)二次项系数中含有参数时,参数的符号影响不等式的解集;不要忘了二次项系数是否为零的情况;(2)解含参数的一元二次不等式,可先考虑因式分解,再对根的大小进行分类讨论;若不能因式分解,则可对判别式进行分类讨论,分类要
6、不重不漏.双基自测1.(人教A版教材习题改编)不等式x2-3x+2<0的解集为( ).A.(-∞,-2)∪(-1,+∞)B.(-2,-1)C.(-∞,1)∪(2,+∞)D.(1,2)解析 ∵(x-1)(x-2)<0,∴1<x<2.故原不等式的解集为(1,2).答案 D2.(2011·广东)不等式2x2-x-1>0的解集是( ).A.B.(1,+∞)C.(-∞,1)∪(2,+∞)D.∪(1,+∞)解析 ∵2x2-x-1=(x-1)(2x+1)>0,∴x>1或x<-.故原不等式的解集为∪(1,+∞).答案 D3.不等式9x2+6x+1≤0的解集是( ).A.B
7、.C.D.R解析 ∵9x2+6x+1=(3x+1)2≥0,∴9x2+6x+1≤0的解集为.答案 B4.(2012·许昌模拟)若不等式ax2+bx-2<0的解集为,则ab=( ).A.-28B.-26C.28D.26解析 ∵x=-2,是方程ax2+bx-2=0的两根,∴∴a=4,b=7.∴ab=28.答案 C5.不等式ax2+2ax+1≥0对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围为________.解析 当a=0时,不等式为1≥0恒成立;当a≠0时,须即∴0<a≤1,综上0≤a≤1.答案 [0,1] 考向一 一元二次不等式的解法【例1】►已知函数f(x)=解不等
8、式f(x)>3.[审题视点]对x分x≥0、x<0进行讨论从而把f(x)>3变成两个不等式组.解 由题意知或解得:x>1.故原不等式的解集为{x
9、x>1}.解一元二次不等式的一般步骤是:(1)化为标准形式;(2)确定判别式Δ的符号;(3)若Δ≥0,则求出该不等式对应的二次方程的根,若Δ<0,则对应的二次方程无根;(4)结合二次函数的图象得出不等式的解集.特别地,若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式,则可立即写出不等式的解集.【训练1】函数f(x)=+log3(3+2x-x2)的定义域为________.解析 依题意知解得∴1≤x<3.故函数f(x)的定义域
10、为[1,3).答案 [1,3)考向二 含参数的一元二次不等式的解法【例2】►求不等式12x2-ax>a2(a∈R)的解集.[审题视点]先求方程12x2-ax=a2的根,讨论根的大小,确定不等式的解集.解 ∵12x2-ax>a2,∴12x2-ax-a2>0,即(4x+a)(3x-a)>0,令(4x+a)(3x-a)=0,得:x1=-,x2=.①a>0时,-<,解集为;②a=0时,x2>0,解集为{x
11、x∈R且x≠0};③a<0时,->,解集为.综上所述:当a>0时,不等式的解集为;当a=0时,不等式的解集为{x
12、x∈R且x≠0};当a<0时,不等式的解集为.解含参
13、数的一元二次不等式的一般
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