高三数学专题复习_一元二次不等式及其解法

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1、一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0与ax2＋bx＋c＜0的解集若a>0时．(1)若Δ＞0，此时抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有两个交点，即方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根x1、x2(x1＜x2)，那么，不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是________________，不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是_____________．{x

2、x＜x1或x＞x2}{x

3、x1＜x＜x2}(2)若Δ＝0，此时抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴只有一个交点，即方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根，x1

4、＝x2＝-b2a，高三数学专题复习一元二次不等式及其解法那么不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是___________，不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是___.(3)若Δ＜0，此时抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴无交点，即方程ax2＋bx＋c＝0无实数根，那么，不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是____，不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是___.R若a＜0时，可以先将二次项系数化成正数，对照上述(1)、(2)、(3)情况求解．DA．(－∞，－1)∪(－1,2]C．(－∞，－1)∪[2，＋∞)B．[－1,2

5、]D．(－1,2]BCD考点1解一元二次不等式例1：解不等式：0＜x2－x－2＜4.不等式①的解集为{x

6、－2＜x＜3}，不等式②的解集为{x

7、x＜－1或x＞2}．因此原不等式的解集为：{x

8、x＜－1或x＞2}∩{x

9、－2＜x＜3}＝{x

10、－2＜x＜－1或2＜x＜3}．解题思路：利用数轴求交集比较直观、简洁．解析：原不等式相当于不等式组解一元二次不等式的关键是分解因式，必要时求出相应的一元二次方程的根．A．(－∞，2)C．(0,2)B．(2，＋∞)D．(－∞，0)∪(2，＋∞)【互动探究】D考点2解分式不

11、等式及高次不等式法解题思路：先分解因式，再标根求解．解析：原不等式⇔(x－1)(x＋1)(x－2)(x－4)≥0，各因式根依次为－1,1,2,4，在数轴上标根如图5－2－1：图5－2－1所以不等式的解集为(－∞，－1]∪[1,2]∪[4，＋∞)．求解高次不等式或分式不等式一般用根轴法，要注意不等式的解集与不等式对应的方程的根的关系．例2：解不等式：(x2－1)(x2－6x＋8)≥0.【互动探究】2．不等式x2＋2x3－x≥0的解集为()AA．(－∞，－2]∪[0,3)B．[－2,0]∪(3，＋∞)C．[－

12、2,0]∪[3，＋∞)D．(－∞，0]∪(3，＋∞)考点3含参数不等式的解法解题思路：比较根的大小确定解集．解析：原不等式等价于(x－a)(x－a2)>0.当a<0时，有a

13、xa2}．当a＝0时，原不等式的解集为：{x

14、x≠0}．当0a2，原不等式的解集为：{x

15、xa}．当a＝1时，原不等式的解集为：{x

16、x≠1}．当a>1时，有a

17、xa2}．解含参数的有理不等式时分以下几种情况讨论：(1)根据二

18、次项系数(大于0，小于0，等于0)；(2)根据根的判别式讨论(Δ>0，Δ＝0，Δ<0)；(3)根据根的大小讨论(x1>x2，x1＝x2，x10(a∈R)．【互动探究】错源：特殊情形考虑不周例4：解不等式(x＋2)2(x＋3)(x－2)≥0.正解：原不等式可化为：(x＋2)2(x＋3)(x－2)＝0①，或(x＋2)2(x＋3)(x－2)>0②，解①得：x＝－3或x＝－2或x＝2.解②得：x＜－3或x＞2.∴原不等式的解集为{x

19、x≤－3或x≥

20、2或x＝－2}．误解分析：忽视(x＋2)2≥0这一条件的影响，将等式的运算性质套用到不等式运算中导致漏解．纠错反思：在解高次不等式和分式不等式时,若因式出现了(x−a)2n,故在数轴标根时是无需改变符号的.若出现(x−b)2n+1,则只要用(x−b)替代即可.【互动探究】{x

21、x>－1且x≠2}例5：若不等式2x－1＞m(x2－1)对满足

22、m

23、≤2的所有m都成立，求x的取值范围．解题思路：将原不等式变形，再利用一次函数的单调性或不等式性质求解．解析：方法一：原不等式化为(x2－1)m－(2x－1)＜0.令

24、f(m)＝(x2－1)m－(2x－1)(－2≤m≤2)．在解含参数不等式时，通常需变形，再利用其性质求解．f(x)<0恒成立，则x的取值范围为____________.【互动探究】5．已知函数f(x)＝x3＋x，对任意m∈[－2,2]，f(mx－2)＋1．高次不等式解法：尽可能进行因式分解，分解成一次因式后，再利用数轴标根法求解(注意每个因式的最高次项的系数要求为正数)2．含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减