第六章微分学基本定理及其应用ppt课件.ppt

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1、第六章微分学基本定理及其应用6.1中值定理6.2洛必达法则6.3泰勒公式6.4导数在研究函数中的应用6.1中值定理极大值极大值极小值极小值极小值xyO图1罗尔(Rolle)定理满足:(1)在区间[a,b]上连续(2)在区间(a,b)内可导(3)f(a)=f(b)使证:故在[a,b]上取得最大值M和最小值m.若M=m,则因此在(a,b)内至少存在一点若M>m,则M和m中至少有一个与端点值不等,不妨设则至少存在一点使注意:1)定理条件不全具备,结论不一定成立.例如,则由费马定理得使2)定理条件只是充分的.本定理可推广为在(a,b)内可导,且在(a,b)内至少存在一点证明提示:设证F

2、(x)在[a,b]上满足罗尔定理.例1不求导数,判断函数f(x)=(x+1)(x-3)(x+3)的导数有几个实根以及其所在范围解f(-3)=f(-1)=f(3)=0f(x)在[-3-1][-13]上满足罗尔定理的三个条件在(-3-1)内至少存在一点x1使f(x1)=0x1是f(x)的一个实根在(-13)内至少存在一点x2使f(x2)=0x2也是f(x)的一个实根f(x)是二次多项式只能有两个实根分别在区间(-3-1)及(-13)内例2.证明方程有且仅有一个小于1的正实根.证:1)存在性.则在[0,1]连续,且由零点定理知存在使即

3、方程有小于1的正根2)唯一性.假设另有为端点的区间满足罗尔定理条件,至少存在一点但矛盾,故假设不真!设例3设，在(0,1)内至少有一个零点.证明多项式亦即f(x)在(0,1)内至少有一个零点.即，证：则在[0,1]上满足Rolle定理条件，令至少有一点，使.且在内可导,证明至少存在一点使提示:由结论可知,只需证即验证在上满足罗尔定理条件.设例4.设例5设函数f(x)满足：拉格朗日定理(i)f(x)在闭区间[a,b]上连续;(ii)f(x)在开区间(a,b)内可导.那么在开区间内至少存在一点,使得-----拉格朗日公式.二、拉格朗日定理可见，罗尔定理是拉格朗日定理的一个特例.几何

4、意义如右图，在满足条件的曲线y=f(x)上至少存在一点连线的斜率为y=f(x)的两个端点A,B该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB曲线分析:弦AB方程为拉格朗日定理比罗尔定理少了条件在处函数值相等。证明1（几何意义角度）设可以验证F(x)满足罗尔定理的三个条件,所以使即于是在连续，在上可导，拉格朗日公式还有下面几种等价表示形式:注拉格朗日公式无论对于ab都成立.推论1设在区间I上的导函数,则是一个常值函数.证对于区间I上的任何两点与,,在[x1,x2]上满足拉格朗日定理的条件,则有这就是说,在区间I上的任何两个值都相等,所以为常值函数.例6证由推论1证明

5、:设f(x)xn则f(x)在[ba]上连续在(ba)内可导例8设ab0n1证明nbn1(ab)anbnnan1(ab)由拉格朗日中值定理存在(ba)使f(a)f(b)f()(ab)即anbnnn1(a-b)因为nbn1(a-b)

6、g这两个函数视为以x为参数的方程它在uOv平面上表示一段曲线.由拉格朗日定理恰好等于曲线端点弦AB的斜率(见下图):的几何意义,存在一点(对应于参数)的导数这两个错!柯西定理的下述证法对吗?讨论不一定相同推广柯西定理推广罗尔定理拉格朗日定理例10设函数f在区间[a,b](a>0)上连续,在(a,b)证设　　　　,显然f(x),g(x)在[a,b]上满足柯西中值定理的条件,于是存在　　　　,使得变形后即得所需的等式.上可导,则存在　　　　,使得例11.设至少存在一点使证:结论可变形为设则在[0,1]上满足柯西中值定理条件,因此在(0,1)内至少存在一点,使即证明例12达布定理导

7、函数可能有第二类间断点.备用题求证存在使1.设可导，且在连续，证：因此至少存在显然在上满足罗尔定理条件,即设辅助函数使得设证明对任意有证：2.不妨设3.若可导,试证在其两个零点间一定有的零点.提示:设欲证:使只要证亦即作辅助函数验证在上满足罗尔定理条件.