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《第六章微分学基本定理及其应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第六章微分学基本定理及其应用§6.1中值定理—、罗尔定理（Rolle）首先给出极值概念定义设/（%）在区间I有定义，若xoel，且日兀（）的某个邻域〃（兀0）c7,Vxgt/（x0）有/（x）＜/u（））（/⑴n/g））,则称X。是/⑴的极人（小）值点,于（兀0）是/⑴的极大（小）值.极大值点与极小值点统称为极值点，极人值与极小值统称为极值.极值点兀。必在区间/的內部，/（兀）是/（兀）的极值是与/⑴在如的某个邻域“兀。）上的函数值于（兀）比较而言的.因此，极值是一个局部概念./（切在区间/上可能有很多的极大值（或极小值），
2、但只能有一个最大值（如果存在最大值）和一个最小值（如果存在最小值）•若/⑴在区间/的内部某点兀。取到最值，则兀0必是/（兀）的极值点.下面的图人致说明了/（X）取极值的一些情形.在相应于极值点的曲线上的点处，曲线或有水平切线（如点丙,®）,或切线不存在（如点禺）,或切线垂直于X轴,这说明极值点应在fx）=0或fx）不存在的点中寻找.费马（Fermat）定理设/（%）在区间I有定义，若/（兀）在勺可导，且在X。取到极值，则/U）=o-证不访设/（兀。）是极人值，由定义有：玉。的某个邻域t/（x0）u/,Vxg{/（x0）,
3、有/（x）＜/（x0）.由于/Vo）3,所以Zf（x0）,人（兀0归,且r（x0）=lim/心））=恤/⑴—/（%）“.片TX。-X-Xo牙Tq+X-Xo・・・o＜/（xo）=/；（%o）＜o,即r（^o）=/^o）=o-・•・厂（兀（））=0.注若将兀0改为内点，同时极值改为最值，也有相应的结论.罗尔定理若.f（x）满足下列条件：1）在闭区间[a,b]±.连续;2）在开区间⑺上）内可导;3）f（a）=f（b）.则至少存在一点（a,b）,使几何意义在闭区间［⑦切上有连续
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5、线＞，=/(兀)，iih线上每一点都存在切线，在
6、闭区间［a,b］的两个端点a,b的函数值相等，即f(a)=f(b),则曲线上至少存在一点，过该点的切线平行兀轴，如图所示.证：由条件1)和§3.2定理5,/(x)在［a,b］取到最小值m＞最大值M.分两种情况讨论：若m=Mt则/(兀)在［a,甸上是常数，于是Wg(a,b),有fx)=0,即(Q,b)内任意一点都可取作§,使F©=0•若m＜M，由条件3)知,至少有一个最值是在(a,b)内部取得•即.f(x)在(a,b)内至少有一个极值点由费马定理，有广©=0•注若把定理条件：@,b)内可导换成山力］可导，这样会缩小中值定理的
7、适用范围，如函数f(X)=yJ-X2,XG［-1,1］就成了定理不适川的对象.另外，罗尔定理有3个条件，缺少其中一个即可导致结论不成立.二、拉格朗日｛lagrange)定理拉格朗日定理若/(x)满足下列条件：1)在闭区间［a,b］上连续；2)在开区间⑺上)内可导.则至少存在一点(a,b),使b-Cl几何意义若闭区间［d,〃］上有一条连续曲线，曲线上每一点都存在不垂总于兀轴的切线,则曲线上至少存在一点H,过该点的切线平行于切线AB・证将所证之式改写为：［/(x)_/W-/(a)%r
8、h-a令F(x)=/(兀)兀,则F(兀)在
9、［a,h］±满足屁辰定理的三个条件,所以至b-a少存在一点(ci,b),使=即b-a或证过点B(bJ(b))的割线方程是y=/(g)+b-a(x-a)•设辅助函数0(x)是/(x)为割线AB的差，即0(x)=/(x)-［/(d)+u-tz)］,b-a易知俠兀)在［d,b］上满足Rolle定理的三个条件，故在(d,b)内至少存在一点使血)“，即佗)=牛3.b-a在该定理中，如果f(a)=/(b),则/@)=0,即为罗尔定理.拉格朗口公式的几种等价形式：1)f(b)=f(a)+—a),§介于a,bZ间;£—CI2)令&二，则&w
10、(0,1),§=Q+&(〃一◎),b-a、f(b)=f(a)+fa+6(b-a)(b-a)(0v&v1);3)有限改变量公式f(x+Ax)=/(x)+fx+0x)Ar(0v&v1).推论1)设.f(x)在区间/可导，则Vxg/,/z(x)=0«VxG/,/(x)=c.证”二＞”：在区间/取定一点兀0,/兀€/,兀北兀0,显然J(x)在［兀0，兀］或［兀,勺］上满足微分中值定理的条件，故冇/(x)-/(x0)=一兀o)，§在兀与兀0之间•已知厂©=0,从而/(x)-/(xo)=o,或f(x)=f(x0).设f(x0)
11、=c,WVxGI，有f(x)=c.”U”：略.2)若VxgZ,/(x)可导，则VxgI,fx)=gx)o/(x)=g(x)+c.三、柯西(Cauchy)定理柯西定理若f(x),g(x)满足下列条件：1)在闭区间S,b］连续；2)在开区间⑺小)可导，且Vjtw(a,b),有Q(x)h0,
