第五章 微分学的基本定理及其应用

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1、第五章微分学的基本定理及其应用§1.中值定理1.应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：（1）（2）等号成立当且仅当；（3）（4）（5）2.设为正整数，，则存在，使.3.设函数在点具有连续的二阶导数，证明4.函数在可导，其中，证明：存在，使得5.证明：（1）方程（是常数）在区间内不可能有两个不同的实根；（2）方程（为正整数，为实数）当为偶数时至多有两个实根；当为奇数时至多有三个实根.6.设可导，求证：在两零点之间一定有的零点.7.若在可导，且，为介于和之间的任一实数，则至少存在一点，使.第11页共11页1.若函数，和在连续，在可导，证明存在，使得.

2、2.设函数在内可导，且单调，证明在连续.3.设在上可导，且。求证：存在，使。4.求证：.5.设，求证：任意，有6.设在连续，.（1）若存在，使，则在上达到最大值；（2）如果存在，使，能否断言在上达到最大值？7.设在连续，且，证明：在上取到它的最小值.8.设在有界，存在，且.求证.9.对函数在上应用拉格朗日中值定理有试证对下列函数有：（1）（2）第11页共11页§2.泰勒公式1.写出下列函数在的带佩亚诺余项的泰勒展开式：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；2.求下列函数在的泰勒展开式：(1)；(2)；(3)；3.利用泰

3、勒公式求极限：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；4.设在原点的邻域二次可导，且第11页共11页(1)；(2)；1.确定常数，，使时，(1)为的5阶无穷小；(2)为的3阶无穷小；2.写出下列函数在的泰勒公式至所指的阶数：(1)；(2)；(3)；(4)；3.求证：(1)；(2)e是无理数；4.设在上有二阶导数，且，则存在，使5.设在a点附近二次可导，且，由微分中值定理：求证：6.设在实轴上任意次可导，令，求证：.第11页共11页1.证明：若函数在区间上恒有，则在内任意两点，都有.2.设为一n次多项式，(1)皆为正数，证明在上无根；(2)正负号

4、相间，证明在上无根.§3.函数的升降、凸性与极值1.确定下列函数的单调区间：（1）（2）（3）（4）（5）（6）2.求下列函数的极值：（1）（2）（3）（4）（5）（6）第11页共11页1.证明：若函数在点处有，则为的极大值点.设，在实轴上连续可微，且求证：的两实根之间一定有的根.2.应用函数的单调性证明下列不等式：（1）（2）（3）（4）（5）3.确定下列函数的凸性区间与拐点：（1）（2）（3）（4）4.设（1）证明：是函数的极小值点；（2）说明在的极小值点处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件.5.设在处都取的极值，试定出和的值；并问这

5、时在和是取得极大值还是极小值；(1)求函数在上的极值；第11页共11页(2)求方程有两个正实根的条件.1.问，为何值时，点为曲线的拐点？2.证明曲线有位于同一直线上的三个拐点.3..设为区间上严格上凸函数，证明：若为的极小值点，则为在上唯一的极小值点.4.作出下列函数的图形：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）.5.证明：(1)若为下凸函数，为非负实数，则为下凸函数；(2)若、均为下凸函数，则为下凸函数；(3)若为区间上的下凸函数，为上的下凸递增函数，，则为上的下凸函数.6.给定长为的线段，试把它分成两段，使以这两段为边所围成

6、的矩形面积为最大.7.如何选择参数，方能使曲线第11页共11页在（为给定的常数）处有拐点.1.求下列函数在指定区间上的最大值与最小值（1）（2）（3）（4）（5）2.点到抛物线最短距离.3.设炮口的仰角为，炮弹的初速为，炮口取作原点，发炮时间取作，不计空气阻力时，炮弹的运动方程为：若初速不变，问如何调整炮口的仰角，使炮弹射程最远.§4.平面曲线的曲率1.求下列曲线的曲率与曲率半径：(1)抛物线(2)双曲线(3)星形线2.求下列以极坐标表示的曲线的曲率半径：(1)心脏线(2)双纽线(3)对数螺线3.设曲线是用极坐标方程给出，且二阶可导，证明它在点

7、处曲率为第11页共11页1.求下列各曲线在指定点的曲率和曲率半径：(1)在点(2，2)；(2)在点(1，0)．2.证明抛物线在顶点处的曲率半径为最小．3.求曲线的最小曲率半径．4.求曲线上曲率最大的点．5.求下列参数方程给出的曲线的曲率和曲率半径：(1)旋轮线(2)椭圆(3)圆的渐开线§5.待定型1.求下列待定型的极限：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）第11页共11页（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）（17）（18）（19）（20）（21）（22）2.下列函数不能用洛必达法则求极限：第11页共11页（

8、1）（2）（3）（4）§6.方程的近似解1.求方程的正根，使误差不超过.2.求在中的根，使误差不超过.第11页共11页