微分学基本定理及其应用

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1、第六章微分学基本定理及其应用6.1中值定理一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理一、罗尔(Rolle)定理费马引理设函数f(x)在点的某领域内有定义，并且在处可导，如果对任意的，有那么证不妨设时，（如果可类似的证明）.于是，对于，有从而当时，当时根据函数f(x)在可导的条件极限的保号性，便得到所以几何解释:例如,证例例上例说明罗尔定理的条件是结论成立的充分条件,但不是必要条件.2)罗尔定理的结论中不是唯一的.1)罗尔定理的三个条件对于结论的成立都是重要的.关于罗尔定理的几点说明3)将罗尔定理的条件1.2.换为[a,b]上可导,结论仍成立.例1证由介值定理即

2、为方程的小于1的正实根.矛盾,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理几何解释:证分析:弦AB方程为作辅助函数注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.拉格朗日中值定理又称有限增量定理.拉格朗日中值公式又称有限增量公式.拉格朗日中值公式的几种表达形式推论例2证例3证由上式得三、柯西(Cauchy)中值定理几何解释:证作辅助函数例4证分析:结论可变形为定义6.2洛必达法则定理定义这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.证定义辅助函数则有注：例1解例2解例3解例4解例5解注意：洛必达法

3、则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好.例6解例7解关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型.步骤:例8解步骤:步骤:例9求解设取对数得例10解例11解例12解洛必达法则失效.注意：洛必达法则的使用条件．泰勒公式主要是用多项式近似代替函数,且误差可由公式表示出来.这样对精确度要求较高且需要估计误差的情形就可用高次多项式来近似表示函数,同时给出误差公式.6.3泰勒公式在利用微分作近似计算时(当时)不足:问题:1、精确度不高；2、误差不能估计.问题的提出将求得的系数a0,a1,a2,…,an代入(1)式,有(2)来近似表达f(x),要求P

4、n(x)与f(x)之差是比(x-x0)n高阶的无穷小,并给出误差

5、f(x)-Pn(x)

6、的具体表达式.设函数f(x)在含有x0的开区间内具有直到(n+1)阶导数,试找出一个关于(x-x0)的n次多项式(1)假设Pn(x)与f(x)在点x0的函数值及它的直到n阶导数都相等得证明:()则由上式得拉格朗日形式的余项注:1)在不需要余项的精确表达式时，n阶泰勒公式也可写成(5)麦克劳林(Maclaurin)公式解代入公式,得由公式可知估计误差其误差常用函数的麦克劳林公式解原式例3利用带有佩亚若型余项的麦克劳林公式，求极限解由于分式的分母所以，用带有佩亚若型余项的三阶麦克劳林公

7、式，即6.4导数在研究函数上的应用一、函数单调性的判定法二、曲线的凹凸性与拐点定理1一、函数单调性的判定法证应用拉氏定理,得例1解：例2解注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调．定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点．方法:例3解单调区间为例4解单调区间为例5证注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.例如,例6证明：当x>1时，证令则

8、问题:如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位于所张弦的上方图形上任意弧段位于所张弦的下方二、曲线的凹凸性与拐点定义定理2例7解注意到,注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.拐点的求法证拐点的概念方法1:例8解凹的凸的凹的拐点拐点方法2:例9解注意:例10解函数的极值与最大值最小值一、函数的极值及其求法二、最大值最小值问题一、函数极值及其求法定义定理1(必要条件)定义注意:函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.定理2(第一充分条件)(是极值点情形)求极值的步骤:(不是极值点情形)例1解列表讨论极大值极小值定理3(第二充分条件)证同理可证(2).

9、例2解注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.二、最大值最小值问题步骤:1.求驻点和不可导点;注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)2设f(x)在(a,b)内的驻点为x1,x2,…xn,则比较f(a),f(x1),…,f(xn),f(b)的大小,其中最大的便是f(x)在[a,b]上的最大值,最小的便是f(x)在[a,b]上的最小值．例3解计算比较得例4把一根直径为d的圆木锯成截面为矩形的梁.问矩形截面的高h和宽b应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大.解由力学分析知道：矩形梁的抗弯截面模量为问题由图看出，b与h有下面的