ch 5 微分学的基本定理及其应用

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1、Ch5微分学的基本定理及其应用计划课时：16学时P174—2352004．11．05.§1中值定理（3时）一、极值概念：1．极值：图解，定义(区分一般极值和严格极值.)2．可微极值点的必要条件:Th(Fermat)(证)函数的稳定点,稳定点的求法.二.微分中值定理:1.Rolle中值定理:叙述为Th1.(证)定理条件的充分但不必要性.2．Lagrange中值定理:叙述为Th2.(证)图解.用分析方法引进辅助函数,证明定理.也可用几何直观引进辅助函数.Lagrange中值定理的各种形式.关于中值点的位置.系1函数f(x)在区间I上可导且f′(x)≡,0⇒f(x)为I上的常值函数.(证)系2函数

2、f(x)和g(x)在区间I上可导且f′(x)≡g′(x),⇒f(x)=g(x)+c,x∈I.D系3设函数f(x)在点x0的某右邻域∪+(x0)上连续,在∪+(x0)内可导.若limf′(x)=f′(x+)0存在,则右导数f′(x)也存在,且有f′(x)=f′(x+0).(证)+0+0+00x→x0但是,f′(x+)0不存在时,却未必有f′(x)不存在.例如对函数0+0⎧21⎪xsin,x≠,0f(x)=⎨x⎪⎩,0x=.0虽然f′0(+)0不存在,但f(x)却在点x=0可导(可用定义求得f′)0(=0).DTh(导数极限定理)设函数f(x)在点x的某邻域∪(x)内连续,在∪(x)内000可导

3、.若极限limf′(x)存在,则f′(x)也存在,且f′(x)=limf′(x).(证)00x→x0x→x0由该定理可见,若函数f(x)在区间I上可导,则区间I上的每一点,要么是导函数f′(x)的连续点,要么是f′(x)的第二类间断点.这就是说,当函数f(x)在区间I上点点可导时,导函数f′(x)在区间I上不可能有第二类间断点.系4(导函数的介值性)若函数f在闭区间[a,b]上可导,且f′(a)f′(b)<,0+−⇒∃ξ∈(a,b),∋f′(ξ)=.0(证)Th(Darboux)设函数f(x)在区间[a,b]上可导且f′(a)≠f′(b).若k为介于f′(a)与f′(b)之间的任一实数,则∃

4、ξ∈(a,b),∋f′(ξ)=k.（设f′(b)

5、)−g(a)必有g′(ξ)=/0,因为否则就有f′(ξ)=0.这与条件“f′和g′在(a,b)内不同时为零”矛盾.⇒""Cauchy中值定理的几何意义.Ex[1]P1791—4；三．中值定理的简单应用:(讲1时)1.证明中值点的存在性:参阅[3]P104.例1设函数f在区间[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则∃ξ∈(a,b),使得bf(b)−f(a)=ξln⋅f′(ξ).a证在Cauchy中值定理中取g(x)=lnx.例2设函数f在区间[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且有f(a)=f(b)=0.试证明:∃ξ∈(a,b),∋f(ξ)−f′(ξ)=0.2．证明恒等式:原理.π例3证明:

6、对∀x∈R,有arctgx+arcctgx=.2fg例4设函数f和g可导且f(x)≠,0又=.0则g(x)=cf(x).(证明f′g′g()′=0.)f2例5设对∀xh,∈R,有

7、f(x+h)−f(x

8、)≤Mh,其中M是正常数.则函数f(x)是常值函数.(证明f′=0).3．证明不等式:原理.h例6证明不等式:h>0时,

9、ylor公式(3时)一.问题和任务:用多项式逼近函数的可能性;对已知的函数,希望找一个多项式逼近到要求的精度.二.Taylor(1685—1731)多项式:定义(Taylor多项式P(x)及Maclaurin多项式)n32例1求函数f(x)=x−4x+2在点x=2的Taylor多项式.0三.Taylor公式和误差估计:称R(x)=f(x)−P(x)为余项.称给出R(x)的定量或定性描述的式nnn51f(x)=